Корны, Бермант-Араманович о производной по направлению.

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 14 дек 2013, 02:52

Ponomaryov'у замечание за постоянные попытки войти в клинч!
Такой хоккей нам не нужен! ©

homosapiens · Сообщение **homosapiens** » 14 дек 2013, 06:25

Пономарьёв, тебя чо, на сайтехе забанили?

Рубен · Сообщение **Рубен** » 17 дек 2013, 08:32

homosapiens писал(а):Source of the post
Пономарьёв, тебя чо, на сайтехе забанили?

Теперь он может ответить на ваш вопрос (если будет продолжать тему).

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 17 дек 2013, 08:43

Рубен писал(а):Source of the post
Теперь он может ответить на ваш вопрос (если будет продолжать тему).

Рубен, если он выйдет на следующий раунд, предупредите его, чтобы не пользовался
запрещенными приемами в виде опечаток.

Орбан И.Н.

Рубен писал(а):Source of the post
Какое такое условие ортогональности $d\vec{r}$ и $\vec{r}$ ? В каких справочниках? Вы вообще о чем?

Рубен писал(а):Source of the post

Действительно, вектор-функция $\grad \phi(x,y,z)$ ортогональна касательной плоскости, проходящей через точку (x,y,z) (это известный факт и доказательство этому можно прочесть в любом учебнике анализа). Так как приращение $d \vec r$ радиус-вектора $\vec r$ вдоль любой линии на поверхности $\phi$ всегда лежит в касательной плоскости к $\phi(x,y,z)$ , то $\grad \phi(x,y,z) \cdot d \vec r = 0$ .

$\grad \phi(x,y,z) \cdot d \vec r =dconst= 0$ , когда вектора $d\vec{r}$ и $d\vec{n}_{r}$ коллинеарны, а следовательно оба ортогональны в этом случае направлению $\grad \phi(x,y,z)$ . Очевидно, что в рассматриваемом случае дифференциал радиус-вектора $d\vec{r}$ находится в плоскости, касательной к поверхности уровня скалярного поля $\phi (\vec{r})=const$ для данной точки $$P(x,y,z)$$

(это известный факт и доказательство этому можно прочесть в любом учебнике анализа).

Во всех остальных случаях $d\vec{r}$ неортогонален направлению вектора $\grad \phi(x,y,z)$ , к которому уже неколлинерный дифференциалу $d\vec{r}$ вектор $d\vec{n}_{r}$ ортогонален всегда, в любом случае по известному доказываемому положению (Вы его сформулировали как #вектор-функция $\grad \phi(x,y,z)$ ортогональна касательной плоскости, проходящей через точку (x,y,z)#) векторного анализа о совпадении направления $\grad \phi(x,y,z)$ и направления вектора нормали $\vec{n}=\vec{n}_{r}$ к поверхности уровня $\phi (x,y,z)=const$ в данной точке поля $$ P(x,y,z)$$

.

Рубен · Сообщение **Рубен** » 17 дек 2013, 22:33

Орбан И.Н. писал(а):Source of the post $\grad \phi(x,y,z) \cdot d \vec r =dconst= 0$ , когда вектора $d\vec{r}$ и $d\vec{n}_{r}$ коллинеарны

Нет, не тогда, а когда $d\phi(P) = 0$ в точке $$P(x_0,y_0,z_0)$$

- коллинеарность $d\vec{r}$ и $d\vec{n}_{r}$ тут вообще не при чем.

о совпадении направления $\grad \phi(x,y,z)$ и направления вектора нормали $\vec{n}=\vec{n}_{r}$ к поверхности уровня $\phi (x,y,z)=const$ в данной точке поля .

Не понял, откуда тут равенство $\vec{n}=\vec{n}_{r}$ ?

$\vec{n}_{r}$ - единичный вектор, направленный вдоль радиус-вектора $\vec{r}$ , а $\vec{n}$ - вы обозначили вектор нормали к поверхности уровня. Они не коллинеарны, а значит не равны.

Приведу пример.
Понизим для наглядности (сути это не меняет) размерность пространства, на котором задается функция $\phi$ , до двух. Пусть задана функция:

$\displaystyle \phi(x,y) = \sqrt{1 - \frac {x^2} {a^2} - \frac {y^2} {b^2}}$

соответствующая верхней половине эллипсоида. Поверхность уровня $\phi(x,y) = 0,5$ будет представлять линию второго порядка - эллипс с полуосями $$\displaystyle \frac {à\sqrt{3}} {2}$$ и $\displaystyle \frac {b\sqrt{3}} {2}$ .

Возьмем градиент функции $\displaystyle \phi(x,y)$ в точке $$P(x_0,y_0)$$

, где $\displaystyle x_0 = \frac {a} {2}; y_0 = \frac {b} {\sqrt{2}}$ , лежащей на этом эллипсе: $\displaystyle \bigtriangledown \phi(x_0,y_0) = -\left(\frac {1} {a} \vec{i} + \frac {\sqrt{2}} {b} \vec{j}\right )$

Видно, что градиент функции в точке $$P$$

не коллинеарен и не ортогонален: ни радиус-вектору точки $\displaystyle \vec{r}(P) = \frac {a} {2} \vec{i} + \frac {b} {\sqrt{2}} \vec{j}$ , ни орту радиус-вектора этой точки $\displaystyle \vec{n}_{r}(P) = \frac {\vec{r}(P)} {r(P)}$ , ни дифференциалу орта радиус-вектора: $\displaystyle d\vec{n}_{r}(P)$ , ибо $\displaystyle d\vec{n_{r}}$ всегда ортогонален $\vec{r}$ , но последний, в свою очередь, в точке $\displaystyle P$ не ортогонален и не коллинеарен $\displaystyle \bigtriangledown \phi$ .

На этом примере можно убедиться, что все эти сказки про ортогональность векторов $\displaystyle \bigtriangledown \phi$ и $\displaystyle \vec{n}_{r} = \frac {\vec{r}} {r}$ в любой точке пространства можно забыть.

Орбан И.Н.

Рубен писал(а):Source of the post
Орбан И.Н. писал(а):Source of the post $\grad \phi(x,y,z) \cdot d \vec r =dconst= 0$ , когда вектора $d\vec{r}$ и $d\vec{n}_{r}$ коллинеарны
Нет, не тогда, а когда $d\phi(P) = 0$ в точке - коллинеарность $d\vec{r}$ и $d\vec{n}_{r}$ тут вообще не при чем.

о совпадении направления $\grad \phi(x,y,z)$ и направления вектора нормали $\vec{n}=\vec{n}_{r}$ к поверхности уровня $\phi (x,y,z)=const$ в данной точке поля .

Не понял, откуда тут равенство $\vec{n}=\vec{n}_{r}$ ?

$\vec{n}_{r}$ - единичный вектор, направленный вдоль радиус-вектора $\vec{r}$ , а $\vec{n}$ - вы обозначили вектор нормали к поверхности уровня. Они не коллинеарны, а значит не равны.

Насколько я понял из дискуссии, Вы, пока что до сих пор безуспешно, опровергаете ортогональность векторов $d\vec{n}_{r}$ и $\grad \phi(x,y,z)$ . В то врем как:

Вектор $d\vec{n}_{r}$ , по общеизвестному определению ортогональности призводной вектора постоянного модуля самому вектору $\vec{n}_{r}$ , учитывая известное доказываемое положение (Вы его сформулировали как #вектор-функция $\grad \phi(x,y,z)$ ортогональна касательной плоскости, проходящей через точку (x,y,z)#) векторного анализа о совпадении направления $\grad \phi(x,y,z)$ и направления вектора нормали $\vec{n}$ к поверхности уровня $\phi (x,y,z)=const$ в данной точке поля $$ P(x,y,z)$$

, естественно ортогонален направлению вектора $\grad \phi(x,y,z)$ .

Тогда вектор $d\vec{n}_{r}$ ортогонален и совпадающему по направлению с направлением $\grad \phi(x,y,z)$ вектору нормали к поверхности уровня $\phi (x,y,z)=const$ , следовательно $\vec{n}=\vec{n}_{r}$ , а значит они коллинеарны.

И это даже без учета того что

$\displaystyle d \vec r \times d \left( \frac {\vec r} {r} \right) = \displaystyle d \vec r \times d \left( \frac {r\cdot \vec{n}_{r}} {r} \right)= \displaystyle d \vec r \times d \vec{n}_{r}=0$

для рассматриваемого случая $\phi (x,y,z)=const$ , когда $| \vec r |=r=const$ по одной банальной причине (видимо, неизвестной для Вас), а именно $$ dr=0$$

, ведь весьма легко убедиться, что при $$ dr=0$$

$\displaystyle d \vec r \times d \vec{n}_{r}=d (r\cdot \vec{n}_{r}) \times d \vec{n}_{r}=(d\vec{n}_{r}\cdot r+\vec{n}_{r}\cdot dr) \times d \vec{n}_{r} =$
$=r(d \vec{n}_{r} \times d \vec{n}_{r})+0\cdot ( \vec{n}_{r} \times d \vec{n}_{r})=0+0=0$ ,

что очередной раз подтверждает коллинеарность векторов $d\vec{r}$ и $d\vec{n}_{r}$ для рассматриваемого случая $\grad \phi(x,y,z) \cdot d \vec r =dconst= 0$ , которая, как Вы утверждали "тут вообще не причем".

Элементарные математические выкладки подтвердили: коллинеарность векторов $d\vec{r}$ и $d\vec{n}_{r}$ для рассматриваемого случая $\grad \phi(x,y,z) \cdot d \vec r =d\phi(P) =dconst= 0$ , "тут вообще причем", в очередной раз опровергая Ваши утверждения.

Рубен писал(а):Source of the post

На этом примере можно убедиться, что все эти сказки про ортогональность векторов $\displaystyle \bigtriangledown \phi$ и $\displaystyle \vec{n}_{r} = \frac {\vec{r}} {r}$ в любой точке пространства можно забыть.

Какое отношение все, что Вы тут написали про эллипсоид, имеет к рассматриваемому условию $\phi (x,y,z)=const$ при $|\vec{r}(x,y,z)|=r=const$ ?

Также было бы интересно, если бы Вы записали здесь функцию потенциала скалярного поля, для которого поверхностью уровня являлся бы эллипсоид, каждая точка которого удовлетворяет условию $\phi (x,y,z)=const$ .

Рубен · Сообщение **Рубен** » 18 дек 2013, 15:18

Орбан И.Н. писал(а):Source of the post Насколько я понял из дискуссии

То есть, не поняли.

Вектор $d\vec{n}_{r}$ , по общеизвестному определению ортогональности призводной вектора постоянного модуля самому вектору $\vec{n}_{r}$

Это верно.

учитывая известное доказываемое положение векторного анализа о совпадении направления $\grad \phi(x,y,z)$ и направления вектора нормали $\vec{n}$ к поверхности уровня $\phi (x,y,z)=const$ в данной точке поля

Это тоже верно.

Вектор $d\vec{n}_{r}$ ... естественно ортогонален направлению вектора $\grad \phi(x,y,z)$ .

Это утверждение не следует из предыдущих двух, более того, оно неверно.

для рассматриваемого случая $\phi (x,y,z)=const$ , когда $| \vec r |=r=const$ по одной банальной причине (видимо, неизвестной для Вас), а именно

Очередная глупость. С чего это $$ dr=0$$

? Почему

?

что очередной раз подтверждает коллинеарность векторов $d\vec{r}$ и $d\vec{n}_{r}$

Вы строете свои доказательства на заранее ложных предположениях, причем сами эти предположения не проверяете. Это называется демагогия.

Элементарные математические выкладки подтвердили:

Вы их неверно провели.

Какое отношение все, что Вы тут написали про эллипсоид, имеет к рассматриваемому условию $\phi (x,y,z)=const$ при $|\vec{r}(x,y,z)|=r=const$ ?

Условие

вы только что на ходу придумали? Откуда оно следует? Поверхность уровня не обязана быть сферой - это же ясно.

Также было бы интересно, если бы Вы записали здесь функцию потенциала скалярного поля, для которого поверхностью уровня являлся бы эллипсоид

Это неинтересно - переход от плоского поля к пространственному никаких принципиальных результатов не дает.

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 18 дек 2013, 16:19

Рубен писал(а):Source of the post
дуэлянт сменился

Рубен · Сообщение **Рубен** » 18 дек 2013, 16:39

yourdomain.com