folk писал(а):Source of the postДа сколько угодно, сколько вашей душе заблагорассудится! Для этого вовсе не нужно предполагать что ряд натуральных чисел бесконечен, просто он не ограничен сверху (не имеет определённого конца).folk писал(а):Source of the post Кстати ради интереса, Вы бесконечность натурального ряда также предлагаете запретить? Если да то сколько можно использовать чисел?
А чем это отличается от бесконечности? Аксиома бесконечности это то что для любого заданного числа есть большее на единицу. Не более того. (То что такое множество существует лишь техническая деталь) Все остальное лишь следствия. Вы согласны с этой аксиомой? Если нет, то какое конкретно самое большое число вас устроит? Не забудьте про космологию)
Уважаемый folk! (без всякого ехидства).
Я понимаю как трудно прослеживать многие ветки форума и вникать в разные темы, независимо от того насколько они вам интересны. Мои посты длинны, но мне хочется чтобы их читали.
С аксиомой бесконечности я не согласен. Вынужден забежать несколько вперёд, чтобы объяснить свою позицию в этом вопросе.
Бесконечен ли ряд натуральных чисел?
Начнём с определения, которое дано в Советском энциклопедическом словаре. «Натуральные числа, числа, возникающие в процессе простого счёта, целые положит. числа 1, 2, 3, …».
Можно подумать, что существует ещё сложный счёт. Здесь, наверное, имелось в виду, что счет предметов это такая простая вещь, для которой вполне достаточно приведённого определения (числа это числа, которые «возникают»…).
Есть такая поговорка: «Бог создал натуральный ряд чисел, а всё остальное придумал человек». Что же такое натуральные числа, ряд натуральных чисел? Здесь происходит смешение понятий: «объект природы», «понятие» (об этом объекте), «знак-имя понятия». Сами числа представляют собой знаки-имена. Несмотря на то, что они названы натуральными (природными), они представляют собой искусственные объекты природы, созданные человеком. В естественной природе нет натуральных чисел, поэтому натуральные числа создал все же человек, а не бог (природа).
Каким же образом при счёте предметов возникают натуральные числа? Допустим, папа молча считает количество рублей в копилке, перекладывая рубли по одному. В конце счёта он говорит, что насчитал 45 рублей. Ребёнок, не умеющий считать, пронаблюдав эту процедуру, тоже начинает перекладывать монеты, но в процессе «счета» у него не «возникают» никакие натуральные числа.
Объективно не натуральное число, а натуральное количество (объектов). Количество конкретных объектов природы задано самой природой как факт, и не зависит от того, пересчитали мы эти объекты или нет, ошиблись при подсчёте или нет, и какими именами мы обозначили сами эти количества. Так у мухи шесть ног, а на руке у человека пять пальцев.
Чтобы объекты имело смысл считать они должны быть в некоторой степени однородными. Нельзя считать так: дерево – раз, воздух – два, муравей – три, звезда – четыре, и т.п. Что означает быть однородными? Например, на столе могут находиться самые различные предметы, но имеет смысл считать количество предметов «находящихся на данном столе». Свойство «находиться на данном столе» является классифицирующим свойством этих разнородных предметов. С другой стороны, «стеклянные гранёные стаканы» в некоторой степени однородны, но их нет смысла считать, пока мы не ограничим множество всех стаканов дополнительным классифицирующим свойством. Есть даже смысл говорить о множестве стеклянных гранёных стаканов, находящихся на данном столе, если на данном столе нет ни одного стакана.
Подумав на эту тему, читатель поймёт, что имеет смысл считать только элементы множества. Если мы предварительно не определим множество, то и считать будет нечего. С другой стороны, множество элементов, которые имеет смысл считать, должно быть не то что конечно, а довольно сильно ограниченно. Кому придёт в голову считать, скажем, количество «песчинок» сахара песка в ведре, если ведро полное. А в пустыне Сахара?
Следует заметить, что процесс счёта предметов это физический процесс, который требует затрат времени и энергии. Например, как можно сосчитать количество кристаллов сахара в полном ведре не производя с самими кристаллами сахара никаких физических действий?
Существует «мнение зала», что ряд натуральных чисел бесконечен. Что имеется при этом в виду? Обратим внимание на «обтекаемость» и двусмысленность высказывания: «ряд натуральных чисел бесконечен». Можно понимать так: ряд не имеет определённого конца. В различных, конкретных случаях ряд может иметь конечную, но различную, определённую количеством предметов счёта длину. Поэтому, начиная писать этот ряд, мы ставим в «конце» (условном, конечно) многоточие, (как это и сделано в определении натурального ряда в энциклопедическом словаре). Но можно понимать и так: количество натуральных чисел бесконечно большое. Понятие «бесконечность» употребляется здесь в разных смыслах. Возникает подозрение, что математиков такая двусмысленность устраивает, но становится возможной логическая ошибка, которая называется сменой тезиса. Почему речь идёт не о числах, а именно о ряде? иначе было бы высказано более чётко, какой смысл имеется в виду.
Если исходить из приведённого определения, что натуральные числа «возникают» в процессе счёта предметов, то соответствует ли факт бесконечности ряда натуральных чисел, бесконечному количеству предметов счёта. Надо полагать, что процесс счёта предметов предполагает наличие результата. Процесс счёта, как и всякий другой процесс, происходит во времени. Если количество предметов счёта бесконечно, то результат счёта не наступит никогда. Есть ли смысл заниматься безрезультатным процессом?
Где взять бесконечное количество предметов счёта, если количество атомов в воспринимаемой нами части вселенной, конечно. Какие же объекты мы должны тогда считать? Те, наличие которых мы можем только предполагать?
В «обоснование» бесконечности ряда натуральных чисел приводят иногда следующее рассуждение: к имеющемуся натуральному числу мы всегда можем прибавить единицу, получив следующее натуральное число. Такой процесс можно продолжать без конца, следовательно, ряд натуральных чисел бесконечен. Ошибка заключается в выделенной курсивом части рассуждения.
Рассмотрим аналогичное рассуждение. Допустим, мы выкладываем кости домино в ряд, чтобы потом, толкнув первую «доминушку», повалить весь ряд. К имеющемуся уже ряду, мы всегда сможем добавить очередную кость, такой процесс можно продолжать без конца, следовательно, ряд костей домино бесконечен. Заметим, что факт бесконечности ряда костей домино уже, почему-то, становится сомнителен, хотя логика наших рассуждений не изменилась. Не становится легче от предположения, что в процессе выкладывания этого ряда домино, мы будем проводить натуральный счёт каждого элемента ряда.
Информация к размышлению. 28 августа 1998г. 60 студентов установили в Экспо-центре Леэ-вардена (Нидерланды) 2,3 млн. костяшек домино. Одним движением 1 605 757 из них, были опрокинуты. (Из книги рекордов Гинесса).
Возможно, студенты установили бы больше, но где взять столько костей домино. Домино никто не станет изготавливать специально для рекорда.
Обычно под натуральным числом имеется в виду число десятичной системы счисления. Выбор основания системы счисления, в общем-то, случаен и, вероятно, связан с тем, что на руках у человека десять пальцев. Соответственно основанию системы счисления, имеются десять цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Эти цифры, есть первые числа натурального ряда чисел, т.е. знаки-имена первых натуральных количеств. (Натуральные количества могут быть упорядочены по величине).
Для облегчения запоминания целых положительных чисел десятичной системы, числа разбивают на классы, по три цифры. Каждый класс содержит три разряда. Когда-то первые числа натурального ряда чисел были именами существительными и соответственно склонялись. Имена числительные до тысячи образуются и склоняются по правилам с исключениями. От десяти до двадцати имена чисел образуются путем добавления окончания –надцать к имени цифры. Числа до ста образуются по-разному: до сорока, путём добавления окончания –дцать. Вместо «четыредцать» говорится сорок, затем, до девяноста добавляется окончание –сят. Вместо девятьдесят говорится девяносто, затем идёт: сто, двеСТИ, триСТА, четыреСТА, затем, до тысячи добавляется окончание –сот. И, наконец, идёт имя класса: тысяча. Было время, когда люди умели считать только до тысячи. Число большее тысячи называлось тьмой. (Синоним бесконечности?)
Перечислим, теперь, имена классов.
1. 103 – тысяча,
2. 106 – миллион,
3. 109 – миллиард (биллион),
4. 1012 – триллион,
5. 1015 – квадриллион,
6. 1018 – квинтиллион,
7. 1021 – секстиллион.
На этом имена классов кончаются. Вероятно, последним, натуральным числом, которое можно назвать, является секстиллион секстиллионов. Числа, типа: девятьсот девяносто девять квинтильонов девятьсот девяносто девять квадрильонов девятьсот девяносто девять триллионов девятьсот девяносто девять миллиардов девятьсот девяносто девять миллионов девятьсот девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять секстиллионов секстиллионов, или (следующее натуральное число): секстиллион секстиллионов секстиллионов и т.п. ещё можно как-то понять, но, если секстиллионов становится много, то трудно запомнить сколько раз нужно произнести слово секстиллион. Нужно учесть еще, что при счёте таких огромных (но не бесконечных) количеств, нам придётся ещё запоминать все цифры разрядов каждого класса. Если мы забудем текущее натуральное число, к которому всегда можно добавить единицу, то дальнейший счёт потеряет смысл (которого, возможно, и не было изначально). Можно, конечно, на каждый секстиллион откладывать счётную палочку (или, скажем, кость домино), но ведь количество счётных палочек не может быть бесконечным.
Когда нам не хватает памяти, то приходится записывать текущее натуральное число или откладывать палочки. Другими словами нам приходится материализовать знаки-имена натуральных количеств. Заметим, что количество материальных знаков-имён, т.е. чисел записанных на бумаге, (таких же, в принципе, искусственных объектов, как и кости домино), не может быть бесконечным.
Все, что было написано выше, по поводу имён натуральных чисел, мы запомнили ещё в детстве. Многие умели считать до тысячи ещё «до школы». «Тонкость» заключается в том, что имена-знаки чисел натурального количества материализованы в нашей памяти. (К вопросу о том: материальна ли мысль). Нам кажется, что очередное порядковое числительное, которое мы произносим, как бы невесомо и берётся ниоткуда, и в этом «ниоткуда» может находиться бесчисленное множество имён. Но, наша память не безгранична. Сосчитать до десяти так просто, возникает обманчивое впечатление, что эта простота может продолжаться бесконечно.
На самом деле никому не суждено досчитать до секстиллиона.
Элементарный расчёт показывает, что за 75 лет непрерывного счёта без сна, отдыха и перекура, называя в секунду одно натуральное число, можно досчитать только до двух миллиардов трехсот шестидесяти пяти миллионов двухсот тысяч. (Если предположить, что в каждом году 365 дней).
Если натуральных чисел бесконечно много, то и имён натуральных чисел тоже бесконечно много. Но если имен бесконечно много, то и длина каждого имени стремится к бесконечности, потому, что имя образуется из 33 букв алфавита, а в изображении числа используются только 10 цифр. Стремится к бесконечности, так же, строка цифр в изображении всё больших натуральных чисел. Поскольку невозможно запомнить строку числа, состоящего, скажем, из миллиона цифр, то цифры приходится материализовать, например, записывая их на бумаге.
Может ли существовать натуральное число, изображаемое, например, 33456 цифрами десятичной системы счисления? Такое число может существовать, и для обоснования этого утверждения вовсе не нужно предполагать, что ряд натуральных чисел бесконечен. Нужно запастись ученической тетрадью (12 листов в клеточку), карандашом и временем. Если у нас хватит терпения написать в каждой клетке цифру, которая нам придёт в голову, исписав всю тетрадь, то тем самым мы материализуем знак некоторого «натурального» числа с 33456 значащими цифрами. Заметим, что имени у этого числа нет. (Есть ещё одна псевдологическая уловка: назовите последнее натуральное число, ага, не можете? значит, ряд натуральных чисел бесконечен.) Имена классов кончаются на 1021, а наше число больше чем
Заметим, что на запись такого числа нужно потратить четыре с половиной часа, записывая в секунду две цифры. Но есть ли смысл тратить тетрадь и время? Мы уже как бы не хотим (мягко сказано, не имеем физической возможности) доходить до таких чисел натурального ряда, начиная счёт с единицы, тем более, добавлять к имеющемуся уже числу натурального ряда очередную единицу.
Есть ли смысл заниматься счётом таких больших, но конечных количеств? Нет. Впрочем, где взять такие количества? Можно, к примеру, выразить радиус метагалактики в микрометрах, но это «всего»
Мы рассуждаем примерно так. Можно мысленно представить число, состоящее пусть даже из миллиарда цифр, или бесконечное количество треугольников, (Можно мысленно представить себе, что мы взлетели над землёй, как бы во сне, и смотрим сверху на копошащихся внизу людей). Но, одно дело наши мечты и фантазии и совсем другое – реальная действительность. Занимаясь построением теорий и моделей, имеющих практическую ценность и описывающих реальную природу, мы должны уметь отделять наши фантазии и желаемое от действительного и возможного.
Даже если натуральные числа – пустые имена (т.е. такие имена, которым на самом деле не соответствуют количества считаемых объектов природы), то количество этих, пусть даже пустых, имён не может быть бесконечно большим, потому что они должны быть материализованы либо в памяти, либо вне, в виде материальных знаков-имён.
Истинный математик может мне посочувствовать: да… товарищу явно не хватает способности мыслить абстрактно. Он так и не постиг понятия бесконечности. Он не понимает, что «теоретически» не всегда совпадает с «практически». Что мы работаем в рамках абстрактных моделей. Модель главное, а природа – прикладное, второстепенное. Модель только с некоторой степенью точности приближается к реальности, а оценить эту степень точности не всегда возможно. Если есть расхождения между моделью и действительностью, то «виновата» природа, а не модель! Модель идеальна, а природа несовершенна.
А не кажется ли вам, уважаемый математик, что всё как раз с точностью наоборот?
Вернёмся к поставленному вопросу. Как понимать высказывание: ряд натуральных чисел бесконечен?
Поскольку, как мы выяснили раньше, что считать имеет смысл только элементы множества, а все существующие множества конечны, по количеству соответствующих им, реально существующих объектов, то и количество знаков-имён натуральных количеств тоже конечно.
К пониманию того, что различные количества можно упорядочить по величине в некоторый ряд, ещё нужно придти. Мы ещё вернёмся к натуральным количествам, а пока будем считать, что «бесконечность» ряда «натуральных» чисел нужно понимать как: ряд, состоящий из конечного числа элементов, но не имеющий определённого, фиксированного конца.
