Полиномы Эрмита

laplas · Сообщение **laplas** » 20 ноя 2013, 09:59

Здравствуйте!
думаю мой вопрос лучше задать именно математикам.
по определению многочленов Эрмита для них определено скалярное произведение следующим образом:
$\displaystyle{(H_n(x),H_m(x)) = \int_{\limits{-\infty}}^{\infty}{e^{-x^2}\cdot H_n(x)\cdot H_m(x)dx}=2^n n! \sqrt{\pi} \delta _{mn}}$

а как взять такой интеграл, очень похожий на скалярное произведение?
$\displaystyle{\int_{\limits{-\infty}}^{\infty}{exp \left(-\frac{a^2\cdot x^2}{2}\right)\cdot H_n(a\cdot x)\cdot exp \left(-\frac{a^2\cdot (x-x_0)^2}{2}\right)\cdot H_m(a\cdot (x-x_0))dx}}$
где а и х0 - константы

я когда посмотрел на него, сразу захотелось переписать его в таком виде

$\displaystyle{exp \left(-\frac{a^2\cdot x_0^2}{2}\right)\int_{\limits{-\infty}}^{\infty}{exp \left(-a^2\cdot x(x-x_0)\right)\cdot H_n(a\cdot x)\cdot H_m(a\cdot (x-x_0))dx}}$

это все, что смог придумать.
гуглить пытался. нигде не нашел про интегралы от полиномов Эрмита, так еще и со сдвигом аргумента
Спасибо

Ian · Сообщение **Ian** » 20 ноя 2013, 16:38

Это прикол или очепятка?

laplas писал(а):Source of the post
$\displaystyle{\int_{\limits{-\infty}}^{\infty}{exp \left(-\frac{a^2\cdot x^2}{2}\right)\cdot H_n(a\cdot x)\cdot exp \left(-\frac{a^2\cdot (x-x_0)^2}{2}\right)\cdot H_m(a\cdot (x-x_0))dx}}$
где а и х0 - константы

я когда посмотрел на него, сразу захотелось переписать его в таком виде

$\displaystyle{exp \left(-\frac{a^2\cdot x_0^2}{2}\right)\int_{\limits{-\infty}}^{\infty}{exp \left(-a^2\cdot x(x-x_0)\right)\cdot H_n(a\cdot x)\cdot H_m(a\cdot (x-x_0))dx}}$

это все, что смог придумать.

Произведение двух гауссиан (даже с разными дисперсиями) действительно преобразуется к одной гауссиане, но не так просто.Правильный ответ
$\displaystyle {exp \left(-\frac{a^2\cdot x_0^2}{4}\right)\int_{\limits{-\infty}}^{\infty}{exp \left(-a^2\cdot x(x-x_0/2)\right)\cdot H_n(a\cdot x)\cdot H_m(a\cdot (x-x_0))dx}}$

А по сути вопроса:этого не надо было, интегралы все равно равны 0 при $m\ne n$ и $2^nn!\sqrt{\pi}/a$ при $$m=n$$

Подсказка. Пусть $$m<n$$

, полином степени $$m$$

раскладывается по полиномам степени 0...m $$H_0(x),...H_m(x)$$

А при

Полином

имеет тот же старший коэффициент 1 при $$x^n$$

, что и

Jeffry · Сообщение **Jeffry** » 20 ноя 2013, 17:41

Есть такой базис функций Эрмита-Гаусса. В нем такие интегралы сводятся к интегралам перекрывания, которые берутся в общем виде.
Поищите статью:
Živković, T.; Maksić, Z. B. (1968). "Explicit Formulas for Molecular Integrals over Hermite-Gaussian Functions". Journal of Chemical Physics 49 (7): 3083–3087. doi:10.1063/1.1670551.

Иногда интегралы (и интегральные преобразования) с полиномами Эрмита удается брать методом мат. индукции, сводя их к рекуррентным соотношениям этих полиномов разными приемами (напр., дифференцируя по некоторому параметру).

laplas · Сообщение **laplas** » 21 ноя 2013, 06:30

Ian писал(а):Source of the post
Это прикол или очепятка?

Ian, а что не так?
$-\frac{a^2x^2}{2}-\frac{a^2(x-x_0)^2}{2}=-\frac{a^2}{2}(x^2+x^2-2xx_0+x_0^2)=-a^2x^2+a^2xx_0-\frac{a^2x_0^2}{2}=-a^2x(x-x_0)-\frac{a^2x_0^2}{2}$

или для гауссиан своя какая то математика?

и еще , коэффициенты при старшей степени будут одинаковы, но не равны 1. ибо именно физические полиномы Эрмита имеются ввиду

Ian · Сообщение **Ian** » 22 ноя 2013, 12:41

скушно было просто написать, что ответ очевиден. Надо чтоб ТС покопался сам)
А если нормировка какая-то необычная, то только при m=n надо считать. Старшие коэффициенты равны между собой а чему мне все равно

laplas · Сообщение **laplas** » 22 ноя 2013, 13:10

я не понимаю. вы меня запутали.
какое преобразование экспонент из двух верное?
я второй день пытаюсь получить ваше выражение, все бестолку.

может тогда просто взять и руками взять несколько интегралов, сначала
n=m=0,1,2,
а потом для n не равных m?
хотя я не уверен, что интегралы для n и m больше нуля будут браться.

Ian · Сообщение **Ian** » 22 ноя 2013, 19:02

laplas писал(а):Source of the post
я не понимаю. вы меня запутали.
какое преобразование экспонент из двух верное?
я второй день пытаюсь получить ваше выражение, все бестолку.

Там точно $(x-\frac{x_0}2)^2$ при выделении полного квадрата, а у вас этого нет. Но это просто упражнение, никак не применяемое при решении поставленной задачи

может тогда просто взять и руками взять несколько интегралов, сначала
n=m=0,1,2,
а потом для n не равных m?
хотя я не уверен, что интегралы для n и m больше нуля будут браться.

Будут!! В уме!! Ради того я и пост писал. Это же хорошая идея Эрмита &Co: ортогональные многочлены со степенями, возрастающими через 1, не просто ортогональны друг другу, а каждый $$H_n(x)$$

ортогонален всем многочленам степени строго ниже n. Доказательство .Пусть $$n>m$$

,

произвольный степени m. Разложим $P_m(x)=\sum_{k=0}^mc_kH_k(x)$ , это можно сделать делением с остатком $$P_m$$

на

, остаток многочлен степени не выше $$m-1$$

, его разделим с остатком на $H_{m-1}$ и т.д. Теперь $$H_n(x)$$

ортогонален всем упомянутым $$H_k(x)$$

, а значит, их линейной комбинации.
Поэтому от $$H_m(x-x_0)$$

мы используем только то, что его степень m, а не то, что он сдвинутый эрмитов.Ответ: интегралы в посте 1 равны 0 при $m\ne n$
Наконец, что делать при $$m=n$$

- рассмотреть $$H_m(x-x_0)-H_m(x)$$

, его степень ровно m-1 и он уже ортогонален $$H_n$$

laplas · Сообщение **laplas** » 23 ноя 2013, 07:15

вот не могу понять, откуда там $(x-\frac{x_0}{2})^2$

[url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=simplify+{exp%28-x^2%2F2%29*exp%28-%28x-y%29^2%2F2%29}]Wolfram alpha того же мнения[/url]

а с остальным вроде понятно спасибо

Ian · Сообщение **Ian** » 23 ноя 2013, 10:07

Вот откуда.
$\displaystyle -x^2+xy-\frac{y^2}2=-(x-\frac y2)^2-\frac{y^2}4$
И это , поправлюсь, многое меняет при вычислении, после центрирования и масштабирования весовой функции получаются
$\displaystyle C\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}H_n(x+\frac{x_0}2)H_m(x-\frac{x_0}2)dx$ , тут ни один из двух полиномов не является ортогональным, оба сдвинутые, поэтому даже при разных m и n интеграл не 0
А откуда задача? Какие-то хар.функции, свертки пытались через полиномы Эрмита посчитать?

laplas · Сообщение **laplas** » 23 ноя 2013, 19:19

эта задача о перекрывании волновых функций двух гармонических осцилляторов, находящихся на разных энергетических уровнях.

вы теперь еще больше меня запутали.
почему именно так надо преобразовывать выражение?

yourdomain.com