СТО для малышей :-)

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 05 ноя 2013, 17:29

Согласно достигнутой договоренности.
Источник: Г. Бонди. Гипотезы и мифы в физической теории. 1972
Я всё-таки изложу суть на случай, если лень полистать источник.
Да и ссылаться, в случае чего, удобнее на пост.

Имеются два инерциальных наблюдателя, движущиеся относительно друг друга
вдоль соединяющей их прямой.
Первый из них посылает второму световые импульсы, временной промежуток между которыми
$$T_s$$

по часам первого. Промежуток времени между принимаемыми импульсами по часам
второго обозначим $$T_r.$$

Нет никаких оснований утверждать, что $$T_r=T_s.$$

- это верно лишь в случае,
если наблюдатели неподвижны друг относительно друга.
В общем же случае:

$$T_r=kT_s.$$

(1)

- коэффициент, который нужно определить. Индексы s, r - от send, receive.

В силу равноправия наблюдателей (1) верно с тем же значением $$k$$

и для случая,
когда второй наблюдатель посылает сигналы, а первый принимет.
Поэтому если принимающий будет без задержки возвращать посылающему его импульсы
(отражать зеркалом, например), то посылающий, очевидно, будет принимать отраженные
импульсы с промежутком $$k^2T_s.$$

Коэффициент $$k$$

, очевидно, зависит от скорости $$V$$

наблюдателей относительно друг друга. Причем $$V$$

- скорость, полученная в результате
измерений, произведенных одним из наблюдателей. Найдем связь между $$k$$

и

.

На картинке наблюдатели А и В в момент встречи устанавливают часы на ноль
и обмениваются сигналами (событие 1).
Затем А в момент $$T$$

посылает сигнал (свой второй) вдогонку В (событие 2).
Далее В отражает полученный сигнал (второй от А) в обратном направлении,
или, что то же, посылает в сторону А свой второй сигнал (событие 3).
И, наконец, А принимает отраженный сигнал - второй от В (событие 4).

Временная развертка событий дана в системе отсчета А.
Я думаю, временные метки $$T$$

и

на оси Ot понятны.
По этим значениям можно определить время $$t_A$$

для события 3.
Исходя из самого разумного предположения о равной скорости
света туды и сюды, А примет для $$t_A$$

среднее арифметическое
между $$T$$

и

$\displaystyle t_A=\frac{T}{2}(k^2+1)$ (2)

Для координаты $$x$$

A может написать два выражения.
Через скорость B $$V:$$

(3)

Через скорость света $$C:$$

(4)

Приравнивая правые части (3) и (4), и подставляя $\displaystyle t_A$ из (2) получим:

$\displaystyle k=\sqrt{\frac{C+V}{C-V}}$ (5)

Анж, здесь пока останавливаюсь. Если не будет возражений по вышенаписанному,
пойдем потом дальше.

Анж · Сообщение **Анж** » 06 ноя 2013, 11:21

Пока возражений нет, только одно уточнение: осей у нас уже две.

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 06 ноя 2013, 14:47

Анж писал(а):Source of the post
Пока возражений нет

Т.е. эта формула

$\displaystyle k=\sqrt{\frac{C+V}{C-V}}$

не заставляет вас просыпаться в холодном поту?
Вы её принимаете абсолютно без всякого внутреннего сопротивления?

только одно уточнение: осей у нас уже две.

Это к чему? :blink:

Анж · Сообщение **Анж** » 06 ноя 2013, 17:29

grigoriy писал(а):Source of the post

Т.е. эта формула

$\displaystyle k=\sqrt{\frac{C+V}{C-V}}$

не заставляет вас просыпаться в холодном поту?
Вы её принимаете абсолютно без всякого внутреннего сопротивления?

Не знаю, может, я ее воспринимаю по-другому.

Нет никаких оснований утверждать, что - это верно лишь в случае,
если наблюдатели неподвижны друг относительно друга.
В общем же случае:

(1)

Можно же понять и как: до удаляющегося Б расстояние увеличивается, значит сигнал будет задерживаться. Может $\displaystyle k$ это поправка на такую задержку.

Ну, давайте до конца дойдем уже, а там видно будет.

grigoriy писал(а):Source of the post
Это к чему? :blink:

На всякий случай. Лоренц вспомнился.

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 06 ноя 2013, 19:33

Анж писал(а):Source of the post
Можно же понять и как: до удаляющегося Б расстояние увеличивается, значит сигнал будет задерживаться. Может $\displaystyle k$ это поправка на такую задержку.

Не может, а так оно и есть!

Анж писал(а):Source of the post
$\displaystyle k=\sqrt{\frac{C+V}{C-V}}$
Не знаю, может, я ее воспринимаю по-другому.

Не понимаю, что значит - по-другому. Она такая, какая есть.
Но вас вроде бы что-то смущает. Что именно?
Вы можете указать на ошибки при выводе этой формулы?

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 07 ноя 2013, 07:13

Анж писал(а):Source of the post
Ну, давайте до конца дойдем уже, а там видно будет.

Да, действительно. А то хожу вокруг да около.

Обратите внимание: ещё ничего существенного, казалось бы, не сделано - нарисована картинка,
расставлены временные метки, - а уже чёт не то. Времена события 3 $$t_A$$

и

вроде как разные.
Они были бы равны при условии $$k=1.$$

Но даже классическая логика подсказывает, что $$k$$

отличен
от единицы при ненулевой скорости.
И действительно - сопоставление этих времен с использованием найденного выражения
для коэффициента $$k$$

даёт ту самую формулу. Проверьте. Фактически это промежутки
времени между событиями 1 и 3, причем для В это собственное время, т.к. для него
эти события происходят в одной точке пространства, в отличие от А, для которого они происходят
в разных точках.

У Бонди можете посмотреть, как складываются скорости, как связаны коэффициенты k при сближении
и удалении, как решается парадокс близнецов... А вот формулу для сокращения масштабов он
не выводил, и это придется вам сделать самостоятельно, в качестве упражнения на закрепление
материала.

Вот, наконец-то, и подходим к концу.

Наблюдатель измеряет длину удаляющегося со скоростью $$V$$

стержня.
Для этого он посылает вдогонку стержню импульс белого света (освещает его), который
возвращается обратно в виде двух отраженных от цветных зеркал импульсов - красного и зеленого.
По разнице времен прихода наблюдатель может вычислить длину стержня.

Если вы для этой ситуации корректно получите формулу сокращения масштабов, значит
материал усвоен, и можно возвращаться в Альтернативу и продолжать отрываться.

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 09 ноя 2013, 18:15

Решение.

Отставание зеленого сигнала в системе стержня:
$\displaystyle T_s=\frac{2l_0}{c}$

Отставание зеленого сигнала в системе наблюдателя:
$\displaystyle T_r=\frac{2l}{c-v}$

С учетом (1) и (5) из #1:

$\displaystyle l=l_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$

Тему можно закрывать.

Anik · Сообщение **Anik** » 09 май 2014, 07:03

grigoriy писал(а):Source of the post
Согласно достигнутой договоренности.
Источник: Г. Бонди. Гипотезы и мифы в физической теории. 1972
Я всё-таки изложу суть на случай, если лень полистать источник.
Да и ссылаться, в случае чего, удобнее на пост.

Имеются два инерциальных наблюдателя, движущиеся относительно друг друга
вдоль соединяющей их прямой.
Первый из них посылает второму световые импульсы, временной промежуток между которыми
по часам первого. Промежуток времени между принимаемыми импульсами по часам
второго обозначим

Нет никаких оснований утверждать, что - это верно лишь в случае,
если наблюдатели неподвижны друг относительно друга.
В общем же случае:

(1)

- коэффициент, который нужно определить. Индексы s, r - от send, receive.

Пусть скорость относительного движения этих наблюдателей равна $$v=150000 km/c$$

, и эти наблюдатели удаляются друг от друга. Пусть один из них через равные промежутки времени $\Delta t_1 = 1 c$ испускает световые импульсы.
Пусть в момент времени $$t_0$$

эти наблюдатели были в одном и том же месте, и первую вспышку второй наблюдатель увидит в момент её испускания.
Теперь подсчитаем промежуток времени между первой и второй вспышками $\Delta t_2$ , который регистрирует второй наблюдатель. За время $\Delta t_1$ (одна секунда) второй наблюдатель удалится от первого на расстояние $\Delta s=v\Delta t_1$ т.е. 150000 км, поэтому вторую вспышку, испущенную первым наблюдателем, он увидит на пол-секунды позже, чем она была испущена первым наблюдателем. Ведь свету нужно время $\delta t=\frac{c}{\Delta s}$ (пол секунды), чтобы преодолеть расстояние $\Delta s$ в 150000 км, на которое успел удалиться второй наблюдатель. Итого, вторую вспышку наблюдатель увидит через время $\Delta t_2=\Delta t_1+\delta t=1,5c$ , т.е. через 1,5 секунды после первой вспышки.

Подставив значения, получим: $\Delta t_2=\Delta t_1+\frac{c}{v\Delta t_1}$ .
Или в ваших обозначениях: $T_s=T_r+\frac{c}{vT_r}$
Как вы найдёте отсюда $$k$$

я не знаю (для случая, когда расстояние между наблюдателями увеличивается).

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 09 май 2014, 08:17

Аник, вы рассматриваете схему с тремя наблюдателями: два воображаемых, а третий - вы.
Хотя вас и не просили "третьим быть".
И описываете ситуацию, оперируя промежутками времени по вашим часам, отказывая наблюдателям
в праве на самоопределение, нарушая тем самым конвенцию о равноправии ИСО.
Диктатуре - нет! Дайте наблюдателям возможность самостоятельно распоряжаться бюджетом
своего времени!

Я надеюсь, что за оболочкой иронии вы рассмотрите суть, поймете, что если говорим о скорости,
времени или расстоянии, то надо обязательно упоминать, по измерениям в какой ИСО получены эти величины.
Иначе разговор теряет смысл.

И потом - давайте отходить от школярства, которое только отвлекает, путаясь под ногами, замусоривает разговор.
Имею в виду, что если ввели в рассуждения какую-то "вэ"... проостите, $$V$$

, то нахрен уточнять,
что она равна именно 150000? А при 200000 - в корне другой вывод?

Считаю, что пока разговор ни о чем.
Начните с найденных ошибок в моих предыдущих постах, и ткните меня в них носом.
Если не найдете, то и говорить не о чем (в пределах изложенного).

Anik · Сообщение **Anik** » 09 май 2014, 09:07

grigoriy писал(а):Source of the post
Аник, вы рассматриваете схему с тремя наблюдателями: два воображаемых, а третий - вы.
Хотя вас и не просили "третьим быть".
И описываете ситуацию, оперируя промежутками времени по вашим часам, отказывая наблюдателям
в праве на самоопределение, нарушая тем самым конвенцию о равноправии ИСО.
Диктатуре - нет! Дайте наблюдателям возможность самостоятельно распоряжаться бюджетом
своего времени!

Я надеюсь, что за оболочкой иронии вы рассмотрите суть, поймете, что если говорим о скорости,
времени или расстоянии, то надо обязательно упоминать, по измерениям в какой ИСО получены эти величины.
Иначе разговор теряет смысл.

Я с самого начала спросил: с каких позиций рассматривать вопрос. Вот я его и рассматриваю с позиций школьника пятиклассника.
Я так понимаю, что речь идёт о началах СТО, и здесь намерились показать противоречие, возникающее в классическом представлениии о времени и пространстве. Так и нужно исходя из классических представлений придти к противоречию. Поэтому и рассматривается задача с позиции школьника.
Как вам такое доказательство теоремы Пифагора: $$a^2=c^2-b^2$$

, Перенесём последний член в левую часть, сменив знак, получим: $$a^2+b^2=c^2$$

. Теорема доказана!
Говорить заранее о том, что время в различных ИСО может течь по-разному не следует ещё ниоткуда. Пятиклассник об этом не знает.

yourdomain.com