1 курс.
1. Докажите неравенство
2. На окружности заданы точки и . Найдите на окружности такую точку , чтобы периметр треугольника был наибольшим.
3. Найти все натуральные , при которых оба числа и являются кубами натуральных чисел.
4. Докажите, что из различных натуральных чисел, не превосходящих , можно выбрать четыре различных числа , удовлетворяющих равенству
5. Докажите, что существует бесконечно много рациональных , при каждом из которых тоже рационально.
2-4 курсы
1. Интегрируемая по Риману на функция удовлетворяет неравенству Докажите, что на некотором отрезке
2. Пусть на множестве задана бинарная операция , удовлетворяющая тождеству . Докажите, что эта операция удовлетворяет также тождеству
3. Докажите, что числа и при взаимно просты.
4. Квадратные матрицы и с вещественными элементами перестановочны и при возведении в квадрат их ранг не меняется. Докажите, что
5. См 5-ю задачу для 1 курса.
Олимпиада НГУ-2013
Олимпиада НГУ-2013
Последний раз редактировалось bot 27 ноя 2019, 21:40, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Олимпиада НГУ-2013
Большее минус двойка делится на меньшее)
Последний раз редактировалось Ian 27 ноя 2019, 21:40, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Олимпиада НГУ-2013
31 ОБЛАСТНАЯ ОТКРЫТАЯ СТУДЕНЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА 2013г
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
(27 октября. 10.00-14.00)
1 курс
1. Положительные числа удовлетворяют равенствам и . Найдите среднее из них.
2. Можно ли число 600 разложить в сумму 9 целых положительных слагаемых так, чтобы всевозможные суммы этих слагаемых, взятых не более одного раза, были различны?
3. Пусть . Вычислите
4. У мухи один носок и одна туфелька на каждую из её шести ножек. Сколько различных порядков обувания возможно, если считать, что муха никогда не наденет туфельку на голую ногу, а носок - поверх туфельки?
5. Целые положительные числа удовлетворяют равенству . Может ли число быть простым числом?
Вузы математического профиля, 2-4 курсы
1. На конечном множестве задана ассоциативная операция . Докажите что в существует идемпотент (то есть элемент , удовлетворяющий тождеству ).
2. Существует ли непрерывная функция , удовлетворяющая тождеству
3. Даны две непрерывные функции , причём при всех .
Множество неподвижных точек функции связно. Докажите, что и имеют общую неподвижную точку.
(Точка называется неподвижной точкой функции , если ).
4. Пусть вещественная функция непрерывна на , дифференцируема во внутренних точках и . Докажите неравенство
5. Найдите все тройки ортогональных матриц и порядка , удовлетворяющих равенству .
Вузы нематематического профиля, 2-4 курсы
1. Определите знак выражения .
2. Докажите, что
3. Исследуйте сходимость ряда при .
4. В корзине лежат 12 различных пар носок. Какова вероятность, что среди 4 наугад выбранных носков окажется хотя бы одна пара?
5. Докажите неравенство
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
(27 октября. 10.00-14.00)
1 курс
1. Положительные числа удовлетворяют равенствам и . Найдите среднее из них.
2. Можно ли число 600 разложить в сумму 9 целых положительных слагаемых так, чтобы всевозможные суммы этих слагаемых, взятых не более одного раза, были различны?
3. Пусть . Вычислите
4. У мухи один носок и одна туфелька на каждую из её шести ножек. Сколько различных порядков обувания возможно, если считать, что муха никогда не наденет туфельку на голую ногу, а носок - поверх туфельки?
5. Целые положительные числа удовлетворяют равенству . Может ли число быть простым числом?
Вузы математического профиля, 2-4 курсы
1. На конечном множестве задана ассоциативная операция . Докажите что в существует идемпотент (то есть элемент , удовлетворяющий тождеству ).
2. Существует ли непрерывная функция , удовлетворяющая тождеству
3. Даны две непрерывные функции , причём при всех .
Множество неподвижных точек функции связно. Докажите, что и имеют общую неподвижную точку.
(Точка называется неподвижной точкой функции , если ).
4. Пусть вещественная функция непрерывна на , дифференцируема во внутренних точках и . Докажите неравенство
5. Найдите все тройки ортогональных матриц и порядка , удовлетворяющих равенству .
Вузы нематематического профиля, 2-4 курсы
1. Определите знак выражения .
2. Докажите, что
3. Исследуйте сходимость ряда при .
4. В корзине лежат 12 различных пар носок. Какова вероятность, что среди 4 наугад выбранных носков окажется хотя бы одна пара?
5. Докажите неравенство
Последний раз редактировалось bot 27 ноя 2019, 21:40, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Олимпиада НГУ-2013
К задаче #4 за 1 курс. Люди не только любуются мухами, но и ловят их, причем на поимку одной мухи среднестатистический человек тратит столько же калорий, сколько при средненьком половом акте, а при положительном результате получает сопоставимое удовольствие. Муха — это маленькая птичка (один грузин сказал). По научному, но популярно, муха (лат. Musca) имеет два крыла и, по мнению Аристотеля, 8 лапок, а по новейшим исследованиям - 6 ножек (сексуальных). Любитель всякого ... Объект охоты для домохозяек. Огнестрельное оружие для охоты не рекомендуется.
Последний раз редактировалось bot 27 ноя 2019, 21:40, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Олимпиада НГУ-2013
Не может. Из разложений чисел на простые множители выводитсяbot писал(а):Source of the post
1 курс
5. Целые положительные числа удовлетворяют равенству . Может ли число быть простым числом?
отсюда
Последний раз редактировалось Ian 27 ноя 2019, 21:40, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Олимпиада НГУ-2013
Последний раз редактировалось Ian 27 ноя 2019, 21:40, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Олимпиада НГУ-2013
bot писал(а):Source of the post
1 курс
1. Положительные числа удовлетворяют равенствам и . Найдите среднее из них.
Обозначим правую часть 2-го равенства через , тогда эти числа корни кубического уравнения , t=1 его корень, остальные одно не больше 1 , другое не меньше 1 из 1-го равенства. Ответ: 1
Последний раз редактировалось Ian 27 ноя 2019, 21:40, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Олимпиада НГУ-2013
bot писал(а):Source of the post ...
1. Положительные числа удовлетворяют равенствам и . Найдите среднее из них...
Прямой метод выражения икс из первого равенства и подстановка во второе. Сразу (почти) разложение на множители
Последний раз редактировалось mihailm 27 ноя 2019, 21:40, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Олимпиада НГУ-2013
bot писал(а):Source of the post
1 курс.
5. Докажите, что существует бесконечно много рациональных , при каждом из которых тоже рационально.
Эквивалентная задача: показать, что существует бесконечно много целых взаимно простых чисел таких, что является целым квадратом (тогда можно будет взять ).
Непосредственно проверяется, что если , то , где , . Кроме того, будут взаимно простыми, если были таковыми. Таким образом, начиная с пары , , можно построить бесконечно много пар с желаемым свойством.
Последний раз редактировалось fri739 27 ноя 2019, 21:40, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Олимпиада НГУ-2013
bot писал(а):Source of the post
1 курс.
4. Докажите, что из различных натуральных чисел, не превосходящих , можно выбрать четыре различных числа , удовлетворяющих равенству
Задача на принцип Дирихле. Сумма двух различных целых чисел из промежутка от 1 до 1000 может принимать одно из 1997 значений от 3 до 1999. С другой стороны, из 64-х чисел можно выбрать 2016 неупорядоченных пар.
Последний раз редактировалось fri739 27 ноя 2019, 21:40, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Вернуться в «Олимпиадные задачи»
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 2 гостей