Найти точку на сфере

San1990 · Сообщение **San1990** » 21 окт 2013, 12:55

Добрый день форумчане!

Есть такая задачка. Даны три точки на сфере $(\varphi_1, \theta_1, 0); (\varphi_2, \theta_2, \Delta t_12); (\varphi_3, \theta_3, \Delta t_13);$ . Где $\Delta t_1i$ - разница во времени прихода сигнала к і точки от времени прихода сигнала к первой. Тоесть когда появился сигнал мы не знаем. Но разницу между приходами сигнала к точкам мы знаем. (t3=>t2=>t1) Сфера единичная. Скорость распространения сигнала единичная. Нужно найти координаты точки от который был сигнал.

Что мне нужно: Идеи как это начать или литература где это уже разобрано. Возможно что-то похожее есть в книгах по сейсмологии.

Где сейчас остановился: Сейчас просмитриваю Аки Ричардса, но еще не нашел похожее. Не знаю или там найду. Так же есть наработки по аналогичной задаче, но на плоскости. Тут всплывают затруднения, т.к. уж слишком сложные формулы получаются для окружностей на сфере.

Жду помощи!

San1990 · Сообщение **San1990** » 22 окт 2013, 10:39

Все еще нужна помощь.

zam2 · Сообщение **zam2** » 22 окт 2013, 11:09

Имеется

точек с координатами $\vec{r}_i=(x_i,y_i,z_i)$ и точка-источник сигнала с коодинатами $\vec{r}_0=(x_0,y_0,z_0)$ . В момент времени $$t_0$$

из точки $\vec{r}_0$ отправляются сигналы в направлении точек $\vec{r}_i$ .
$t_i=t_0+\frac {|\vec{r}_i-\vec{r}_0|} {c}$ - время прихода сигнала в i-ю точку.
По известным $\vec{r}_i, t_i$ определить $\vec{r}_0, t_0$ .
Чем такая постановка задачи отличается от Вашей?

San1990 · Сообщение **San1990** » 22 окт 2013, 11:33

Очень интересная мысль. Возможно из нее как-то можно получить решение. Однако, в таком виде она не подходит. Вот контр пример: источник на северном полюсе, один датчик на эвкваторе и еще один датчик на южном полюсе. Волна от источника достигнет первого датчика за t, ну а второго, очевидно, за 2t. Но расстояние ко второму 2R, а к первому строго больше R.

P.S. Это сфера, а не шар. Поэтому сигналы всегда идут по поверхности.

zam2 · Сообщение **zam2** » 22 окт 2013, 11:49

То есть, источник и приемники на поверхности сферы, и сигналы распространяются по поверхности? А при чем тут сейсмология?

San1990 писал(а):Source of the post Но расстояние ко второму 2R, а к первому строго больше R.

Расстояние от полюса до экватора $\frac {\pi} {2}R$ , от полюса до полюса $\pi R$ .

San1990 · Сообщение **San1990** » 22 окт 2013, 12:02

zam2 писал(а):Source of the post
А при чем тут сейсмология?

Ну, я подумал что вдруг там есть что-то похожее. Какие-нибудь работы.
Задача про сферу, а не шар. Поэтому только тонкая оболочка и поверхносные колебания.

$| \vec{r} - \vec{r_0} |$ - в этой формуле учитывается разница радиус-векторов. В результате получается вектор, а не дуга. Поэтому расстояние 2R, не pi*R. Или я не так понял.

zam2 · Сообщение **zam2** » 22 окт 2013, 12:12

San1990 писал(а):Source of the post $| \vec{r} - \vec{r_0} |$ - в этой формуле учитывается разница радиус-векторов. В результате получается вектор, а не дуга. Поэтому расстояние 2R, не pi*R. Или я не так понял.

Естественно, это не подходит. Я думал, что-то вроде задачи о локации центра землетрясения. Попробую написать новую версию.

San1990 · Сообщение **San1990** » 22 окт 2013, 13:10

Что скажете насчет такого. Воспользуемся системой приведенной выше.
Но наложем условие на радиус-вектор источника (4 уравнение).
4 неизвесных: 3 координаты и t1. Правда, не линейных.

$\{ { \frac { | \vec{r}-\vec{r_1}| } { c } = t_1; \\ \frac { | \vec{r}-\vec{r_2}| } { c } = \Delta t_{12} + t_1; \\ \frac { | \vec{r}-\vec{r_3}| } { c } = \Delta t_{13} + t_1; \\ |\vec{r}| = 1; }$

zam2 · Сообщение **zam2** » 22 окт 2013, 13:51

Имеется

точек с координатами $\vec{r}_i=(x_i,y_i,z_i),|\vec{r}_i|=R$ и точка-источник сигнала с коодинатами $\vec{r}_0=(x_0,y_0,z_0),|\vec{r}_0|=R$ . В момент времени $$t_0$$

из точки $\vec{r}_0$ отправляются сигналы в направлении точек $\vec{r}_i$ .
$t_i=t_0+\frac {L_i} {c}$ - время прихода сигнала в i-ю точку.
Здесь $L_i=Rarccos\frac {[\vec{r_i},\vec{r_0}]} {R^2}$ - длина дуги большого круга между точками $\vec{r_i}$ и $\vec{r_0}$ , $[\vec{r_i},\vec{r_0}]$ - скалярное произведение векторов.
По известным $\vec{r}_i, t_i$ определить $\vec{r}_0, t_0$ .
Решением задачи будет решение системы уравнений:
$\{{cos( \frac {c(t_i-t_0)} {R})=\frac {[\vec{r_i},\vec{r_0}]} {R^2},i=1,...,N; \\ |\vec{r_0}|=R}$
4 неизвестных, следовательно, достаточно трех точек наблюдения.
Вроде бы так.

San1990 писал(а):Source of the post
Что скажете насчет такого. Воспользуемся системой приведенной выше.
Но наложем условие на радиус-вектор источника (4 уравнение).
4 неизвесных: 3 координаты и t1. Правда, не линейных.

$\{ { \frac { | \vec{r}-\vec{r_1}| } { c } = t_1; \\ \frac { | \vec{r}-\vec{r_2}| } { c } = \Delta t_{12} + t_1; \\ \frac { | \vec{r}-\vec{r_3}| } { c } = \Delta t_{13} + t_1; \\ |\vec{r}| = 1; }$

Не пойдет. Расстояния нужно брать по дугам, а не по прямым.

San1990 · Сообщение **San1990** » 22 окт 2013, 14:27

Да, правильно! Я надеюсь))

И вообще, давайте для любого тела обобщим.

$\{ dist( \vec{r} , \vec{r_i} ) / c = t_0 + \Delta t_{0i}$ .

Остаётся только сделать функцию dist. Для сферы и плоскости это легко. Ну, а для цилиндра также возможно.

zam2 писал(а):Source of the post
4 неизвестных, следовательно, достаточно трех точек наблюдения.
Вроде бы так.

И еще сразу вопрос. Какими методами отбирать эти три точки если их больше. Например можно считать по трем точкам к которым сигнал пришел быстрее всего. Тоесть посортировать по времени и применить для первых трех.

Но возможно и как-то учитывать сигналы остальных для лучшей корекции. Данные эксперементальные и могуть быть (могут быть? точно будут) погрешности.

yourdomain.com