Интегрирование периодических функций

bot · Сообщение **bot** » 26 июн 2013, 11:04

nkie писал(а):Source of the post
задача состоит в том,что нужно найти зависимость состояний некой системы от угла beta, причем для всех значений угла alfa.

Эта зависимость у Вас указана - это функция двух переменных $f(\alpha, \beta)$ , здесь альфу назовём параметром. Если Вы желаете из каких-то соображений избавиться от параметра с помощью усреднения на отрезке $\alpha\in [0; 2\pi]$ , то так и пишите: $\widetilde{f}(\beta)=\frac1{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}f(\alpha, \beta)d\alpha$ .
У Вас же одной и той буквой $$f$$

обозначены разные функции, которые в принципе одинаковыми быть не могут, поскольку зависят от разного числа переменных. В силу специфики Вашей функции (первое слагаемое не зависит от параметра, а второе при любом $\beta$ имеет среднее значение ноль) это просто приведёт к отбрасыванию второго слагаемого.

nkie · Сообщение **nkie** » 26 июн 2013, 11:18

laplas писал(а):Source of the post
интеграл от косинуса разности то ноль, а вот от квадрата косинуса не ноль

а перед первым квадратом косинуса 2пи уже не нужно разве?

Albe · Сообщение **Albe** » 26 июн 2013, 11:56

laplas писал(а):Source of the post
Albe писал(а):Source of the post
Не знаю, может я не выспался, но на $2\pi$ умножать здесь не надо.

видимо не выспались.

а во втором случае верный ответ у вас.

Да, всё понял

Albe писал(а):Source of the post
Надо здесь раскрывать по-честному квадрат суммы.
Ответ: $f(\beta)=\pi+\cos^2(\beta)$

Верный ответ: $f(\beta)=\pi+2\pi\cos^2(\beta)$

nkie писал(а):Source of the post
а перед первым квадратом косинуса 2пи уже не нужно разве?

Надо.

bot · Сообщение **bot** » 26 июн 2013, 16:55

Только сейчас заметил, что уже квадраты поехали

Albe писал(а):Source of the post
Верный ответ: $f(\beta)=\pi+2\pi\cos^2(\beta)$

Это неверный ответ - надо на $2\pi$ поделить. И его можно устно получить.
Среднее значение константы - сама эта константа, среднее суммы - сумма средних. Среднее (ко)синуса на полном периоде - ноль. Так как $2\cos^2 x = 1+\cos 2x$ , то среднее от $\cos^2 x$ - это $\frac12$ . При возведении в квадрат имеем $\cos^2 \beta + 2\cos \beta \cos (\alpha - \beta) + \cos^2 (\alpha - \beta)$ .
Первое слагаемое константа, второе косинус с коэффициентом, третье - квадрат косинуса. Итого среднее значение - это $\cos^2 \beta +0+\frac12=1+\frac12\cos 2 \beta$ .

Albe · Сообщение **Albe** » 26 июн 2013, 21:08

bot писал(а):Source of the post
Только сейчас заметил, что уже квадраты поехали
Albe писал(а):Source of the post
Верный ответ: $f(\beta)=\pi+2\pi\cos^2(\beta)$

Это неверный ответ - надо на $2\pi$ поделить.

Если среднее значение считать, то я ошибся.

bot · Сообщение **bot** » 27 июн 2013, 08:19

Да нет - не ошиблись, просто среднее ещё хоть как-то оправдать можно было бы, не будь таких значительных колебаний вокруг среднего. Постановка задачи по-прежнему неясна - кому нужна эта усреднённая функция при эдаких колебаниях?

nkie · Сообщение **nkie** » 27 июн 2013, 11:41

Я тут просто решил в отпуске вывести мат.модель со скрытыми параметрами по типу той,что выводит Алан Аспек в своем эксперименте по проверки неравенств Белла. Его мат модель там слишком уж "наивная". Ну те кто знаком с вопросом знают,что итоговая формула корреляционного коэфициента зависит только от угла между поляризаторами,а угол между поляризатором и осью поляризации фотона в этой формуле отсутствует,т.к. в эксперименте этот угол не контролируется и статистика набирается при всех возможных углах. Да и у Белла вроде интеграл используется. Вот получающиеся у меня вероятности (Р++...Р-+) и имеют приведенный мной вид с квадратом. Короче у меня получается кореляц.коэф. ровно в 2 раза меньше (при той же форме функции) чем при расчетах методами квантовой механики

yourdomain.com