Интегрирование периодических функций

nkie · Сообщение **nkie** » 25 июн 2013, 16:24

Господа математики. Маленький вопрос из школьного курса. Есть функция :
$f(\beta)=cos(\beta)+cos(\alpha-\beta)$
Причем известно что для каждого значения $\beta$ , $\alpha$ меняется от 0 до 2Пи. Я так понимаю я должен эту функцию проинтегрировать по $\alpha$ на всем периоде и в итоге у меня получится:
$f(\beta)=cos(\beta)$
или тут нужно как-то более хитро подойти к вопросу. Помогите пожалуйста, школу закончил давно, а вот ты смотри, пришлось встретиться в жизни с интегралами..

Таланов

Если вы интегрируйте в определённых пределах, то на выходе должно число получиться, а не функция.

bot · Сообщение **bot** » 26 июн 2013, 05:09

А зачем вообще интегрировать? Если интегрировать по одной из двух переменных в определённых пределах, то получится, конечно, функция, но никак не исходная - она была двух переменных, а получится одной.

В чём задача-то состоит?

nkie · Сообщение **nkie** » 26 июн 2013, 05:58

bot писал(а):Source of the post
В чём задача-то состоит?

задача состоит в том,что нужно найти зависимость состояний некой системы от угла beta, причем для всех значений угла alfa. Я думаю косинус суммы можно разложить на разность произведений косинусов и синусов каждого из углов,а при интегрировании периодической функции на всем периоде получается ноль.Т.е. получится разность двух произведений,в каждом из которых одним сомножителем будет ноль

laplas · Сообщение **laplas** » 26 июн 2013, 06:38

если я правильно понял, то у вас функция двух переменных
$f(\alpha, \beta) = \cos(\beta)+\cos(\alpha - \beta)$
а вы хотите получить функцию одной переменной.
для этого надо проинтегрировать по $\alpha$ в пределах $[0, 2\pi]$
$\int\limits_0^{2\pi}{(\cos(\beta)+\cos(\alpha-\beta))d\alpha}$
у вас почти правильно, вы забыли свой косинус на $2\pi$ домножить
$f(\beta)=2\pi\cos(\beta)$

nkie · Сообщение **nkie** » 26 июн 2013, 07:30

laplas писал(а):Source of the post
у вас почти правильно, вы забыли свой косинус на $2\pi$ домножить
$f(\beta)=2\pi\cos(\beta)$

Точно. Спасибо большое. Еще небольшой вопрос. Если функция будет
$f(\alpha, \beta) = [\cos(\beta)+\cos(\alpha - \beta)]^2$
То после интегрирования получится соответственно:
$f(\beta)=2\pi\cos^2(\beta)$
$2\pi$ же в этом случае выносится из под степени?

Albe · Сообщение **Albe** » 26 июн 2013, 08:26

laplas писал(а):Source of the post
у вас почти правильно, вы забыли свой косинус на $2\pi$ домножить
$f(\beta)=2\pi\cos(\beta)$

Не знаю, может я не выспался, но на $2\pi$ умножать здесь не надо.

Albe · Сообщение **Albe** » 26 июн 2013, 08:37

nkie писал(а):Source of the post
Точно. Спасибо большое. Еще небольшой вопрос. Если функция будет
$f(\alpha, \beta) = [\cos(\beta)+\cos(\alpha - \beta)]^2$
То после интегрирования получится соответственно:
$f(\beta)=2\pi\cos^2(\beta)$
$2\pi$ же в этом случае выносится из под степени?

Нет, надо здесь раскрывать по-честному квадрат суммы.
Ответ: $f(\beta)=\pi+\cos^2(\beta)$

nkie · Сообщение **nkie** » 26 июн 2013, 10:07

Albe писал(а):Source of the post
Нет, надо здесь раскрывать по-честному квадрат суммы.
Ответ: $f(\beta)=\pi+\cos^2(\beta)$

$f(\alpha, \beta) = [\cos(\beta)+\cos(\alpha - \beta)]^2 = \cos^2(\beta)+2\cos(\beta)\cos(\alpha - \beta)+\cos^2(\alpha - \beta)$
Затем интегрируем, учитывая что интеграл от $\cos(\alpha - \beta) = 0$
Получаем $2\pi\cos^2(\beta)$
Разве нет?

laplas · Сообщение **laplas** » 26 июн 2013, 10:23

Albe писал(а):Source of the post
Не знаю, может я не выспался, но на $2\pi$ умножать здесь не надо.

видимо не выспались.

а во втором случае верный ответ у вас.

nkie писал(а):Source of the post
Затем интегрируем, учитывая что интеграл от $\cos(\alpha - \beta) = 0$
Получаем $2\pi\cos^2(\beta)$
Разве нет?

интеграл от косинуса разности то ноль, а вот от квадрата косинуса не ноль

yourdomain.com