Метод наименьших квадратов

Гость · Сообщение **Гость** » 16 май 2013, 06:28

Здравствуйте, уважаемые форумчане!
Подскажите, пожалуйста, последовательный алгоритм нахождения коэффициентов a,b,c с помощью МНК для формулы

$y=a+by_{t-1}+cy_{t-2}$

Таланов

А что такое $$t$$

?

Craft · Сообщение **Craft** » 16 май 2013, 09:16

- это период. Вообще имеется таблица из 2 столбцов: в первом - периоды $$t$$

от 1 до 75, а во втором - значение $$y$$

на данный период.

laplas · Сообщение **laplas** » 16 май 2013, 10:01

а слева от знака равенства игрек какой? без индекса?

bot · Сообщение **bot** » 16 май 2013, 10:13

Из того что буква $$t$$

названа периодом яснее не стало. Попробую угадать. Только удобнее будет занумеровать переменные не от 1 до 75, а от 0 до 74. У Вас заданы значения $y_i, \ i=0,1,2,\ldots, 74$ и относительно переменных $$a, b, c$$

требуется минимизировать модуль вектора невязок для системы

$\left\{\begin{matrix}a+by_{74}+cy_{73}=y_{0}\\ a+by_{0}+cy_{74}=y_{1}\\ a+by_{1}+cy_{0}=y_{2}\\ \ldots \\ a+by_{73}+cy_{72}=y_{74}\\ \end{matrix}\right.$

Если угадал, то всё как обычно: модуль невязок системы $$Ax=b$$

минимизируется на решении системы $$A'Ax=A'b$$

, то есть исходную систему надо слева умножить на транспонированную матрицу.

[url=http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%...%82%D0%BE%D0%B2]http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%...%82%D0%BE%D0%B2[/url]

Craft · Сообщение **Craft** » 16 май 2013, 12:57

Прошу прощен за мои недочеты. Правильнее будет так

$\hat{y}_{t}=a+by_{t-1}+cy_{t-2}$

где $\hat{y}_{t}$ прогноз на период $$t$$

.

Формула относится к авторегрессионной модели, т.е. АR(2) метода Бокса-Дженкинса. Для моделей АR(2) прогнозы последующих значений зависят от наблюдений в течении двух предыдущих периодов времени.

На всякий случай прикрепляю файл с таблицей
[img]/modules/file/icons/application-octet-stream.png[/img] Table.rar

PS. Коэффициенты должны получиться такими: $$a=115,2$$

;

.

bot · Сообщение **bot** » 16 май 2013, 16:41

Слегка не угадал (а надо было, так как говорилось про два столбца) - в правой части написанной системы игреки должны шапочки надеть.
Ну дык и в чём проблема? По указанному выше методу требуется помножить матрицу $3\times 75$ на матрицу $75\times 3$ и на столбец $75\times 1$ - в результате получится получится линейная система из трёх уравнений с неизвестными $$a, b, c$$

. Экселька с этим в момент управится. Можете ещё все индексы увеличить на 1, если больше нравится нумерация от 1 до 75.
С методом Бокса-Дженкинса я не знаком и как он модифицирует МНК тоже не знаю. Но, посколько он итерационный, то для матрицы такого малого размера вряд ли будет выгоднее МНК, к тому же он, понятно, приближённый.

Craft · Сообщение **Craft** » 16 май 2013, 16:55

Почему 3 столбца и каким будет 3-ий? Прошу прощения, не совсем понял. Можете в екселе продемонстрировать? Прошу Вас.

bot · Сообщение **bot** » 16 май 2013, 17:52

Сколько неизвестных? - три. Значит и столбцов 3.

Craft · Сообщение **Craft** » 16 май 2013, 18:09

Проверьте результат, пожалуйста, а то коэффициенты различаются. Что не так?
[img]/modules/file/icons/application-octet-stream.png[/img] Table_Result.rar

yourdomain.com