Касание кривых

ansm10 · Сообщение **ansm10** » 24 апр 2013, 03:05

Уважаемые математики,

Две кривые заданы параметрически:
$$x_1=x_1(t), y_1=y_1(t)$$

Кривые имеют касание в точке $$M_0$$

2-го порядка:
$$x_1(t_1)=x_2(t_2)$$

,

$\frac{y_1'(t_1)}{x_1'(t_1)}=\frac{y_2'(t_2)}{x_2'(t_2)}$ ,
$\frac{y_1''(t_1)}{x_1''(t_1)}=\frac{y_2''(t_2)}{x_2''(t_2)}$

Будут ли эти кривые в точке $$M_0$$

иметь одинаковые радиусы кривизны?

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 24 апр 2013, 12:15

Посмотрите здесь [url=http://www.sernam.ru/lect_math2.php?id=85]http://www.sernam.ru/lect_math2.php?id=85[/url]

ansm10 · Сообщение **ansm10** » 24 апр 2013, 14:19

vicvolf писал(а):Source of the post
Посмотрите здесь [url=http://www.sernam.ru/lect_math2.php?id=85]http://www.sernam.ru/lect_math2.php?id=85[/url]

Вот как я рассуждаю. $$y_1'(t_1)=ky_2'(t_2)$$

,

. Из уравнения радиуса кривизны видим, что они различаются. Верна ли логика?!

Ian · Сообщение **Ian** » 24 апр 2013, 15:02

Радиус кривизны не зависит от параметризации. Например, уменьшим масштаб времени в 2 раза, кривая будет проходиться в 2 раза быстрее а вторая производная вырастет в 4 раза. в итоге дробь из формулы 5 по ссылке -не изменится. Можно и строго доказать. Ну и при касании 2-го порядка радиусы кривизны либо одинаковы, либо бесконечны оба)

ansm10 · Сообщение **ansm10** » 24 апр 2013, 16:16

Ian писал(а):Source of the post
Ну и при касании 2-го порядка радиусы кривизны либо одинаковы, либо бесконечны оба)

Если $t_2=t(\tau_2)$ и новая параметризация такая, что

$x_1'(t_1)=kx_2'(t(\tau_2))t'(\tau_2)=x_2'(t(\tau_2))=x_2'(t_2)$ ,

то дробь из формулы (5) по ссылке в обоих случая одинаковая.

yourdomain.com