Количество вещественных корней многочлена

Anti · Сообщение **Anti** » 04 дек 2012, 17:33

Доброе время суток.
Подскажите, как найти количество корней данного многочлена:
$\frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + ... + \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} + \frac{x^n}{n!}$
Очевидно, что 0, если n - чётно, и 1, если n нечётно. Но как это доказать?

mihailm · Сообщение **mihailm** » 04 дек 2012, 18:31

Anti писал(а):Source of the post
...
Очевидно, что 0, если n - чётно, и 1, если n нечётно. Но как это доказать?

Вы ж сами пишете - очевидно

Anti · Сообщение **Anti** » 04 дек 2012, 18:39

Мне то очевидно, а вот преподу это "не очевидно", ему нужны доказательства. Показать графики функций не прокатит.

mihailm · Сообщение **mihailm** » 04 дек 2012, 19:45

вы вообще понимаете, что значит очевидно в математическом тексте???

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 04 дек 2012, 22:09

Anti писал(а):Source of the post
Подскажите, как найти количество корней данного многочлена:
$\frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + ... + \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} + \frac{x^n}{n!}$
Очевидно, что 0, если n - чётно, и 1, если n нечётно. Но как это доказать?

x=0 корнем этого многочлена никогда не является, так в 0 он всегда равен 1. При x>0 многочлен больше или равен 1, так как является суммой 1 и положительных чисел. Корни могут быть только при x<0. Если n четно, то корней многочлен не имеет, так как каждый член последовательности с четной степенью по модулю больше предыдущего с нечетной. Если n нечетно, то при отрицательном x имеется корень, так как каждый последующий член с нечетной степенью по модулю больше предыдущего с четной при x больше или равным по модулю 1, т.е корень меньше или равен -1.

zykov · Сообщение **zykov** » 05 дек 2012, 01:56

Anti писал(а):Source of the post
Но как это доказать?

По индукции.
1) $P_n'=P_{n-1}$
2) $P_n=P_{n-1}+x^n/n!$

Если чётный положителен, то следующий нечётный строго возрастает и имеет ровно 1 корень.
Если нечётный имеет ровно 1 корень, то следующий чётный имеет ровно 1 минимум в корне этого нечётного и равен нулю плюс $$x_0^n/n!$$

.

vicvolf писал(а):Source of the post
Если n четно, то корней многочлен не имеет, так как каждый член последовательности с четной степенью по модулю больше предыдущего с нечетной.

Это не так.

Anti · Сообщение **Anti** » 05 дек 2012, 16:22

Нужно найти не корни, а количество корней. Ответ мне известен, с помощью компьютера нетрудно узнать, но его нужно доказать... А как - не имею представления.

mihailm · Сообщение **mihailm** » 05 дек 2012, 19:10

Anti писал(а):Source of the post
Нужно найти не корни, а количество корней. Ответ мне известен, с помощью компьютера нетрудно узнать, но его нужно доказать... А как - не имею представления.

вы что издеваетесь?

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 06 дек 2012, 08:01

Anti писал(а):Source of the post
Нужно найти не корни, а количество корней. Ответ мне известен, с помощью компьютера нетрудно узнать, но его нужно доказать... А как - не имею представления.

Я же написал в сообщении!

yourdomain.com