Преобразование
переводит треугольник, носитель меры, на себя, всего их 6 таких, включая тождественное и неинтересное меняющее местами х и у
Ему соответствует линейное преобразование
и аналогично для всех компонент вектора
Получилось линейное преобразование, переводящее искомую область на себя.
Чем это поможет, не знаю
Область допустимых значений параметров
Область допустимых значений параметров
Последний раз редактировалось Ian 28 ноя 2019, 15:19, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
-
- Сообщений: 1917
- Зарегистрирован: 09 сен 2007, 21:00
Область допустимых значений параметров
Я тут почитал литературу, конкретно
Математическую энциклопедию, статья "Моментов проблема"
Ахиезер "Класическая проблема моментов и некоторые вопросы анализа, связанные с нею"
Крейн, Нудельман "Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи"
К сожалению, математики все больше жуют одномерный случай. Явного решения моей задачи нигде не нашел. По идеологии ближе всего Крейн, там рассматривается усеченная проблема, правда, только в одномерном случае. Но, возможно, удастся разобраться и применить идеи к двумерному случаю.
В энциклопедии и у Ахиезера рассматривается только полная проблема моментов и не для треугольника, а для квадрата (ну, это можно преобразовать). Трудность в том, что условие разрешимости довольно запутанное и непонятно, как из него получить условия только на низшие моменты, оставляя высшие произвольными. Например, в одномерном случае условие разрешимости можно записать в символическом виде
Во-первых, все условия линейные по моментам, а нужно квадратичное условие . Во-вторых, и входят во все условия с .
Математическую энциклопедию, статья "Моментов проблема"
Ахиезер "Класическая проблема моментов и некоторые вопросы анализа, связанные с нею"
Крейн, Нудельман "Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи"
К сожалению, математики все больше жуют одномерный случай. Явного решения моей задачи нигде не нашел. По идеологии ближе всего Крейн, там рассматривается усеченная проблема, правда, только в одномерном случае. Но, возможно, удастся разобраться и применить идеи к двумерному случаю.
В энциклопедии и у Ахиезера рассматривается только полная проблема моментов и не для треугольника, а для квадрата (ну, это можно преобразовать). Трудность в том, что условие разрешимости довольно запутанное и непонятно, как из него получить условия только на низшие моменты, оставляя высшие произвольными. Например, в одномерном случае условие разрешимости можно записать в символическом виде
Во-первых, все условия линейные по моментам, а нужно квадратичное условие . Во-вторых, и входят во все условия с .
Последний раз редактировалось peregoudov 28 ноя 2019, 15:19, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
-
- Сообщений: 1917
- Зарегистрирован: 09 сен 2007, 21:00
Область допустимых значений параметров
Опишу промежуточный этап своих поисков.
Есть одна хорошая новость: я почти все, что есть в литературе, придумал сам Не смог придумать только одной очень важной вещи, которая позволяет свести задачу функционального анализа к конечномерной. Вот о ней в первую очередь и расскажу. Прошу ногами не пинать, буду рассказывать как физик, на уровне идей, не заморачиваясь особо математической строгостью.
Первый шаг --- перейти от задачи по поиску меры на треугольнике к эквивалентному поиску положительного линейного функционала на непрерывных функциях в треугольнике. Положительного в том смысле, что если из треугольника, то . Понятно, что проверять положительность для всех функций --- хлопотное дело. К счастью, существует теорема Рисса о продолжении, которая гарантирует, что функционал, заданный на подпространстве, можно расширить до функционала во всем пространстве. Для нас это означает, что можно ограничиться подпространством многочленов не выше второй степени, . Поскольку мы хотим, чтобы средние были равны , значение функционала на этих функциях очевидно из его линейности . Для положительных на треугольнике многочленов значение функционала должно быть положительным: если на треугольнике, то . Описать область --- вот задача, которую надо решить.
Теперь я расскажу о двух способах решения этой задачи, в основном следуя Крейну и Нудельману. Первый способ по сути дела совпадает с предложенным мной в пятом сообщении построением огибающей. Нетрудно видеть, что множество положительных функций представляет собой выпуклый конус: вместе с функкцией ему принадлежит луч , , а вместе с функциями и --- соединяющий их отрезок , . Образующие этого конуса --- лучи тех положительных функций, которые не могут быть представлены как сумма двух других положительных функций.
Если вектор лежит в конусе, то вектор , определяемый неравенством лежит в дуальном конусе, образующие которого направлены вдоль нормалей к поверхности исходного конуса.
Соотношение дуальности аналогично преобразованию Лежандра или касательному преобразованию: дульный к дуальному конус совпадает с исходным. Таким образом, для определения области допустимых моментов достаточно найти конус (так называемую коническую оболочку), в котором лежит двумерная поверхность, заметаемая вектором при изменении в треугольнике.
К стыду своему должен сказать, что задача эта, вроде бы и не столь уж многомерная (можно еще выкинуть первую, постоянную, компоненту вектора и искать сечение конуса --- выпуклую линейную оболочку), оказалась мне пока не под силу
Второй способ решения задачи состоит в использовании удобного представления для положительных многочленов. Например, в одномерном случае есть теорема (многим она, наверняка, известна), что положительный на всей оси многочлен (по необходимости четной степени) представлется в виде суммы квадратов двух других многочленов . Есть обобщение этой теоремы для отрезка [0,1]: многочлены четной степени могут быть представлены в виде . Подстановка этого представления в условие положительности функционала немедленно приводит к условию положительности квадратичных форм
( и --- коэффициенты многочленов и ), которое, в свою очередь, немедленно дает условия на моменты.
К сожалению, подобной теоремы для многомерного случая нет и быть не может. Один из первых явных примеров --- многочлен Моцкина (Motzkin) . Положительный многочлен от двух переменных может быть представлен в виде суммы четырех квадратов рациональных функций, но это не то, что нам нужно.
Среди результатов, имеющих отношение к задаче, есть теорема Гендельмана (Handleman), которая утверждает, что положительный многочлен можно представить в виде суммы одночленов по функциям, задающим границу области (у нас это , , ) с положительными коэффициентами. Это приводит к условиям , с которыми, как и с условиями в одномерном случае, непонятно что делать :huh:
В конце концов у нас многочлен второй степени, линии уровня которого --- кривые второго порядка. Тут нам светит полная ветвлений задача о касании эллипса/гиперболы/параболы с треугольником
Есть одна хорошая новость: я почти все, что есть в литературе, придумал сам Не смог придумать только одной очень важной вещи, которая позволяет свести задачу функционального анализа к конечномерной. Вот о ней в первую очередь и расскажу. Прошу ногами не пинать, буду рассказывать как физик, на уровне идей, не заморачиваясь особо математической строгостью.
Первый шаг --- перейти от задачи по поиску меры на треугольнике к эквивалентному поиску положительного линейного функционала на непрерывных функциях в треугольнике. Положительного в том смысле, что если из треугольника, то . Понятно, что проверять положительность для всех функций --- хлопотное дело. К счастью, существует теорема Рисса о продолжении, которая гарантирует, что функционал, заданный на подпространстве, можно расширить до функционала во всем пространстве. Для нас это означает, что можно ограничиться подпространством многочленов не выше второй степени, . Поскольку мы хотим, чтобы средние были равны , значение функционала на этих функциях очевидно из его линейности . Для положительных на треугольнике многочленов значение функционала должно быть положительным: если на треугольнике, то . Описать область --- вот задача, которую надо решить.
Теперь я расскажу о двух способах решения этой задачи, в основном следуя Крейну и Нудельману. Первый способ по сути дела совпадает с предложенным мной в пятом сообщении построением огибающей. Нетрудно видеть, что множество положительных функций представляет собой выпуклый конус: вместе с функкцией ему принадлежит луч , , а вместе с функциями и --- соединяющий их отрезок , . Образующие этого конуса --- лучи тех положительных функций, которые не могут быть представлены как сумма двух других положительных функций.
Если вектор лежит в конусе, то вектор , определяемый неравенством лежит в дуальном конусе, образующие которого направлены вдоль нормалей к поверхности исходного конуса.
Соотношение дуальности аналогично преобразованию Лежандра или касательному преобразованию: дульный к дуальному конус совпадает с исходным. Таким образом, для определения области допустимых моментов достаточно найти конус (так называемую коническую оболочку), в котором лежит двумерная поверхность, заметаемая вектором при изменении в треугольнике.
К стыду своему должен сказать, что задача эта, вроде бы и не столь уж многомерная (можно еще выкинуть первую, постоянную, компоненту вектора и искать сечение конуса --- выпуклую линейную оболочку), оказалась мне пока не под силу
Второй способ решения задачи состоит в использовании удобного представления для положительных многочленов. Например, в одномерном случае есть теорема (многим она, наверняка, известна), что положительный на всей оси многочлен (по необходимости четной степени) представлется в виде суммы квадратов двух других многочленов . Есть обобщение этой теоремы для отрезка [0,1]: многочлены четной степени могут быть представлены в виде . Подстановка этого представления в условие положительности функционала немедленно приводит к условию положительности квадратичных форм
( и --- коэффициенты многочленов и ), которое, в свою очередь, немедленно дает условия на моменты.
К сожалению, подобной теоремы для многомерного случая нет и быть не может. Один из первых явных примеров --- многочлен Моцкина (Motzkin) . Положительный многочлен от двух переменных может быть представлен в виде суммы четырех квадратов рациональных функций, но это не то, что нам нужно.
Среди результатов, имеющих отношение к задаче, есть теорема Гендельмана (Handleman), которая утверждает, что положительный многочлен можно представить в виде суммы одночленов по функциям, задающим границу области (у нас это , , ) с положительными коэффициентами. Это приводит к условиям , с которыми, как и с условиями в одномерном случае, непонятно что делать :huh:
В конце концов у нас многочлен второй степени, линии уровня которого --- кривые второго порядка. Тут нам светит полная ветвлений задача о касании эллипса/гиперболы/параболы с треугольником
Последний раз редактировалось peregoudov 28 ноя 2019, 15:19, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
-
- Сообщений: 1917
- Зарегистрирован: 09 сен 2007, 21:00
Область допустимых значений параметров
Хочу рассказать еще об одном подходе, навеянном одномерной задачей. Буду пользоваться механической терминологией и рассуждать нестрого. Попытаемся заменить произвольное распределение масс по треугольнику на распределение, когда массы сосредоточены в конечном числе точек, так чтобы моменты до второго порядка включительно оставались неизменными. Рассуждая физически, начнем со случая, когда масса уже сосредоточена в конечном, но большом числе точек, и посмотрим, нельзя ли это число уменьшить. А потом будем наивно считать, что результат, справедливый для конечного числа точек, остается справедливым и для произвольного распределения массы.
Опыт одномерного случая учит нас, что любое распределение массы на отрезке можно заменить двумя точками, одна из которых лежит в заданном конце отрезка. Из этого наблюдения проистекает замечательная теоремка: систему двух точек можно заменить эквивалентной системой двух точек, расположенных на той же прямой, причем одна из новых точек лежит в заданной точке прямой вне исходного отрезка (а вторая --- внутри. Или наоборот: внутри положение задано, а вовне определяется).
С помощью этого нехитрого приема можно все точки изнутри треугольника, кроме одной, вынести на границы
Те же рассуждения для стороны треугольника позволяют все вынести в заданный угол, кроме одной точки. Если я не ошибся нигде с особыми случаями (обычная головная боль математиков ), то любое распределение масс сводится к такому: одна точка в заданной вершине треугольника, еще две на прилегающих сторонах, и еще одна внутри. В частных случаях "сторонние" точки могут вылезать в углы, а "внутренняя" --- ложиться на сторону. Некоторые массы в частных случаях могут равняться нулю.
Если внутренняя точка лежит вне треугольника, образованного остальными тремя, то уменьшить количество точек описанным выше приемом уже нельзя. Хотя остается неясно, нельзя ли и в этом случае заменить четыре точки на три.
Ограничения на параметры точек известны: массы неотрицательны, а точки лежат в треугольнике. Обращая зависимость моментов от параметров точек, получаем условия на моменты. К сожалению, так просто обратить нельзя: параметров 7, а моментов 5. Так что в действительности получается условие разрешимости системы неравенств для двух каких-то параметров, например, координат внутренней точки. При таком выборе свободных параметров почти все неравенства сводятся к линейным
и только одно выглядит запутанным
Опыт одномерного случая учит нас, что любое распределение массы на отрезке можно заменить двумя точками, одна из которых лежит в заданном конце отрезка. Из этого наблюдения проистекает замечательная теоремка: систему двух точек можно заменить эквивалентной системой двух точек, расположенных на той же прямой, причем одна из новых точек лежит в заданной точке прямой вне исходного отрезка (а вторая --- внутри. Или наоборот: внутри положение задано, а вовне определяется).
С помощью этого нехитрого приема можно все точки изнутри треугольника, кроме одной, вынести на границы
Те же рассуждения для стороны треугольника позволяют все вынести в заданный угол, кроме одной точки. Если я не ошибся нигде с особыми случаями (обычная головная боль математиков ), то любое распределение масс сводится к такому: одна точка в заданной вершине треугольника, еще две на прилегающих сторонах, и еще одна внутри. В частных случаях "сторонние" точки могут вылезать в углы, а "внутренняя" --- ложиться на сторону. Некоторые массы в частных случаях могут равняться нулю.
Если внутренняя точка лежит вне треугольника, образованного остальными тремя, то уменьшить количество точек описанным выше приемом уже нельзя. Хотя остается неясно, нельзя ли и в этом случае заменить четыре точки на три.
Ограничения на параметры точек известны: массы неотрицательны, а точки лежат в треугольнике. Обращая зависимость моментов от параметров точек, получаем условия на моменты. К сожалению, так просто обратить нельзя: параметров 7, а моментов 5. Так что в действительности получается условие разрешимости системы неравенств для двух каких-то параметров, например, координат внутренней точки. При таком выборе свободных параметров почти все неравенства сводятся к линейным
и только одно выглядит запутанным
Последний раз редактировалось peregoudov 28 ноя 2019, 15:19, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Область допустимых значений параметров
Не всегда. Есть вырожденные случаи которые именно тут и сбываются. Дуальный конус в 6-мерном пространстве к конусу размерности меньше 6 будет 6-мерным полупространством, дуальный же к полупространству -одномерный луч.То есть мы теряем информацию о том, каков был исходный конус:(peregoudov писал(а):Source of the post
Соотношение дуальности аналогично преобразованию Лежандра или касательному преобразованию: дуальный к дуальному конус совпадает с исходным.
Последний раз редактировалось Ian 28 ноя 2019, 15:19, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
-
- Сообщений: 1917
- Зарегистрирован: 09 сен 2007, 21:00
Область допустимых значений параметров
Вы не поняли. Там конус получается вполне себе шестимерный. В многомерном пространстве это трудно представить, рассмотрите трехмерное и выпуклую коническую оболочку векторов , .
Последний раз редактировалось peregoudov 28 ноя 2019, 15:19, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
-
- Сообщений: 1917
- Зарегистрирован: 09 сен 2007, 21:00
Область допустимых значений параметров
Все, я решил свою задачу. "Запутанное" условие оказалось не таким уж сложным. Чтобы пояснить решение, дадим геометрическую интерпретацию выписанных неравенств.
Линейные неравенства
задают область лежащую ниже прямой BD и выше остальных прямых. Важно, что либо точка A, либо точка B (или обе сразу) лежат на границе допустимой области. Именно, A лежит на границе при выполнении условия
Условие для B получается заменой .
Ключом к решению является поведение функции
входящей в "запутанное" условие в окрестности точек A
и B (получается заменой ). Здесь , , --- центральные моменты, компоненты ковариационной матрицы.
Таким образом, в окрестности точек A или B в допустимой обрасти "запутанное" условие выполняется автоматически. В качестве решения системы неравенств можно выбирать точку A или B. При этом одна из четырех масс оказывается равной нулю. Например, при
выбираем точку A, тогда
Если я нигде не ошибся с выявлением более слабых неравенств, то окончательные условия на моменты получаются такими
Попутно мы получили ответ на вопрос о представлении: твердое тело в виде треугольника с произвольным распределением масс может быть эквивалентно представлено тремя материальными точками, одна из которых лежит в заданной вершине, вторая --- на одной из сторон, прилегающих к этой вершине (на какой --- зависит от исходного распределения масс, иногда может быть, что на любой), а третья --- внутри треугольника.
Линейные неравенства
задают область лежащую ниже прямой BD и выше остальных прямых. Важно, что либо точка A, либо точка B (или обе сразу) лежат на границе допустимой области. Именно, A лежит на границе при выполнении условия
Условие для B получается заменой .
Ключом к решению является поведение функции
входящей в "запутанное" условие в окрестности точек A
и B (получается заменой ). Здесь , , --- центральные моменты, компоненты ковариационной матрицы.
Таким образом, в окрестности точек A или B в допустимой обрасти "запутанное" условие выполняется автоматически. В качестве решения системы неравенств можно выбирать точку A или B. При этом одна из четырех масс оказывается равной нулю. Например, при
выбираем точку A, тогда
Если я нигде не ошибся с выявлением более слабых неравенств, то окончательные условия на моменты получаются такими
Попутно мы получили ответ на вопрос о представлении: твердое тело в виде треугольника с произвольным распределением масс может быть эквивалентно представлено тремя материальными точками, одна из которых лежит в заданной вершине, вторая --- на одной из сторон, прилегающих к этой вершине (на какой --- зависит от исходного распределения масс, иногда может быть, что на любой), а третья --- внутри треугольника.
Последний раз редактировалось peregoudov 28 ноя 2019, 15:19, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Вернуться в «Теория вероятностей и Математическая статистика»
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 2 гостей