Производные

Kactus · Сообщение **Kactus** » 27 сен 2012, 22:40

Добрый день.
Уважаемые форумчане, мне нужна ваша помощь. Об этом сайте мне рассказала моя знакомая. Понимаю, что здесь вы решаете гораздо более трудные и интересные задачи. Но прошу, если у вас появится свободная минутка, помогите пожалуйста мне с домашней контрольной. К сожалению школу я закончила очень-очень давно, а получать высшее образование решила только сейчас. И вот, на первой сессии, нас огорошили тем, что мы будем сдавать основы высшей математики.

Задача 1.
Найти производные функции
$f(x)=e^{\cos 2x} - 2^{\sqrt{x}} +\tg^2 2x$ вычислить $f'(\frac {\pi} {2})$
Решение:
$f'(x)=e^{\cos 2x}\cdot(\cos 2x)' - 2^{\sqrt{x}}\cdot\ln2\cdot(\sqrt{x})' +2\tg2x\cdot(\tg2x)'=$
$=e^{\cos 2x}\cdot(-\sin 2x)\cdot(2x)' - 2^{\sqrt{x}}\cdot\ln2\cdot\frac {1} {2\sqrt{x}} +2\tg2x\cdot\frac {(2x)'} {\cos^2 2x}=$
$=-2e^{\cos 2x}\cdot\sin 2x - \frac {2^{\sqrt{x}}\ln2} {2\sqrt{x}}+\frac {4\sin2x} {\cos^3 2x}$
$f'(\frac {\pi} {2})=-2e^{\cos \pi}\cdot\sin \pi - \frac {2^{\sqrt{\frac {\pi} {2}}}\ln2} {2\sqrt{\frac {\pi} {2}}}+\frac {4\sin\pi} {\cos^3 \pi}=$
$= - \frac {2^{\sqrt{\frac {\pi} {2}}}\ln2} {\sqrt{2\pi}}$

Задача 2.
Найти наибольшее и наименьшее знначение функции $$f(x)=x^3+3x^2+3x+2$$

на отрезке |-2;5|
Решение:
$$f'(x)=3x^2+6x+3=3(x+1)^2$$

критическое значение x=-1 принадлежит отрезку |-2;5|
$$f(-1)=-8+12-6+2=1$$

граничные значения:
$$f(-2)=-8+12-6+2=0$$

наибольшее значение f(5)=217
наименьшее значение f(-2)=0

Задача 3
Найти интегралы
решение:
а) $\int_{}^{}{(5-x-3x^2)dx}$
$\int_{}^{}{(5-x-3x^2)dx}=\int_{}^{}{5dx}-\int_{}^{}{xdx}-\int_{}^{}{3x^2dx}=5x-\frac {x^2} {2}-x^3+C$
б) $\int_{}^{}{\tg x dx}$
$\int_{}^{}{\tg x dx}=-\ln |\cos x|+C$ (кратко из таблички)
$\int_{}^{}{\tg x dx}=\int_{}^{}{\frac {\sin x} {\cos x} dx}=-\int_{}^{}{\frac {d \cos x} {\cos x}}= -\ln |\cos x|+C$ (длинно, подробно)
в) $\int_{0}^{\sqrt{3}}{\sqrt{x^4+16}\cdot x^3 dx}=$
вводим вспомогательную z
$$z=x^4+16$$

$\frac {dz} {4}=x^3dx$
$=\int_{0}^{\sqrt{3}}{\frac {\sqrt{z}dz} {4}}=\frac {1} {4}\int_{0}^{\sqrt{3}}{\sqrt{z}dz}=\frac {1} {4}\cdot \frac {2z^{\frac {3} {2}}} {3}|^{\sqrt{3}}_{0}=$
$= \frac {z^{\frac {3} {2}}} {6}|^{\sqrt{3}}_{0}=\frac {(\sqrt{x^4+16})^3} {6}|^{\sqrt{3}}_{0}=\frac {(\sqrt{(\sqrt{3})^4+16})^3} {6}-\frac {(\sqrt{0+16})^3} {6}=\frac {125} {6}-\frac {64} {6}=\frac {61} {6}$

bot · Сообщение **bot** » 28 сен 2012, 04:32

1) Верно. Можно было, предвидя появление множителя, обращающегося в ноль в точке $\pi/2$ , первое и третье слагаемые не выписывть.
2) Верно.
3) Верно. Замечания:
а) Откуда у Вас взялось $$dt$$

вместо

в интеграле?
в) Возврат к старой переменной в определённом интеграле - лишняя работа. Нужно лишь пересчитать пределы интегрирования и забыть исходный интеграл:

$\displaystyle \int\limits_{0}^{\sqrt3}\sqrt{x^2+16}x^3dx=\frac14\int\limits_{16}^{25}\sqrt{z}dz=\ldots$

Kactus · Сообщение **Kactus** » 28 сен 2012, 04:53

bot писал(а):Source of the post
3) Верно. Замечания:
а) Откуда у Вас взялось вместо в интеграле?

ой, опечатка при наборе выражения

Kactus · Сообщение **Kactus** » 30 сен 2012, 23:49

Задача 4
Решить систему уравнений по формуле Крамера
$\{{5x-5y+z=0 \\ 6x-2y+3z=12 \\ 3x+3y-2z=18}$
Решение:
Главный определитель системы
$\Delta =\begin{vmatrix} 5 &-5&1 \\ 6&-2&3 \\ 3&3&-2\end{vmatrix}=$
$=5\cdot(-2)\cdot(-2)+(-5)\cdot3\cdot3+6\cdot3\cdot1-1\cdot(-2)\cdot3-(-5)\cdot6\cdot(-2)-3\cdot3\cdot5=$
$$=20-45+18+6-60-45=-106$$

$\not= 0$ значит, система имеет решение
Вспомогательные определители
$\Delta_x =\begin{vmatrix} 0 &-5&1 \\ 12&-2&3 \\ 18&3&-2\end{vmatrix}=$
$=0\cdot(-2)\cdot(-2)+(-5)\cdot3\cdot18+12\cdot3\cdot1-1\cdot(-2)\cdot18-(-5)\cdot12\cdot(-2)-3\cdot3\cdot0=$
$$=0-270+36+36-120-0=-318$$

$\Delta_y =\begin{vmatrix} 5 &0&1 \\ 6&12&3 \\ 3&18&-2\end{vmatrix}=$
$=5\cdot12\cdot(-2)+0\cdot3\cdot3+6\cdot18\cdot1-1\cdot12\cdot3-0\cdot6\cdot(-2)-3\cdot18\cdot5=$
$$=-120+0+108-36-0-270=-318$$

$\Delta_z =\begin{vmatrix} 5 &-5&0 \\ 6&-2&12 \\ 3&3&18\end{vmatrix}=$
$=5\cdot(-2)\cdot18+(-5)\cdot12\cdot3+6\cdot3\cdot0-0\cdot(-2)\cdot3-(-5)\cdot6\cdot18-12\cdot3\cdot5=$
$$=-180-180+0-0+540-180=0$$

$x=\frac {\Delta_x} {\Delta}=\frac {-318} {-106}=3$
$y=\frac {\Delta_y} {\Delta}=\frac {-318} {-106}=3$
$z=\frac {\Delta_z} {\Delta}=\frac {0} {-106}=0$

Kactus · Сообщение **Kactus** » 01 окт 2012, 00:48

Задача 6
В урне находятся 10 белых, 6 красных и 15 чёрных шаров. Наудачу вынимается два шара. Найти вероятность того, что оба вынутых шара окажутся белыми.
Решение:
Общее число исходов
$C^2_{31}=10!-8!=10\cdot9=90$
Благоприятное число исходов
$C^2_{10}=31!-29!=31\cdot30=930$
Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных событий
$P=\frac {C^2_{10}} {C^2_{31}}=\frac {3} {31}$

Kactus · Сообщение **Kactus** » 01 окт 2012, 01:25

Задача 7
Найти вероятность того, что при бросании двух игральных костей хотя бы один раз выпадет 6 очков.
Решение:
Общее число возможных элементарных исходов
$6\cdot6=36$
Благоприятствующих событий 11:
$$(6;1),(6;2),(6;3),(6;4),(6;5),(6;6),(5;6),(4;6),(3;6),(2;6),(1;6)$$

Искомая вероятность
$P=\frac {11} {36}$

Rathe · Сообщение **Rathe** » 18 дек 2012, 17:50

4 задача - всё верно, если 1ое ур-ие =0, 2ое =12, 3е =18. А то в задании Вы как то не дописали чему они равны.

M	Всему есть предел - сами дописывайте.

A	Всему есть предел - сами дописывайте.

yourdomain.com