После разделения "Математики" не знаю, куда помещать тему, пока кидаю сюда.
Возникла вот какая задача. Есть функция f(x) на отрезке -1<x<1, зависящая от бесконечного набора параметров
где --- полиномы Лежандра. Есть условие, что функция должна быть положительна на отрезке -1<x<1. В пространстве параметров это условие задает некую область допустимых значений. Интересует проекция этой области на плоскость . Можно ли ее как-то в явном виде вычислить?
P. S. Для тех, кого интересует физика . f --- функция распределения ориентации кристалликов в поликристаллической среде, в рассматриваемой модели зависит только от одного из углов Эйлера. и --- те моменты функции распределения, от которых зависит усредненный тензор Гука поликристаллической среды. Функция распределения толком не известна, интересует, существуют ли общие ограничения на усредненный тензор Гука и каковы они.
Область допустимых значений параметров
-
- Сообщений: 1917
- Зарегистрирован: 09 сен 2007, 21:00
Область допустимых значений параметров
Последний раз редактировалось peregoudov 28 ноя 2019, 15:19, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Область допустимых значений параметров
посмотрела сейчас определения полиномов Лежандра...
полиномы Лежандра с чётными номерами - чётные функции, можно рассматривать от 0 до 1
вначале надо определять область сходимости ряда, разве нет?
у степенных рядов это признаком Даламбера обычно делают, а у вас эти неизвестные параметры...
полиномы Лежандра с чётными номерами - чётные функции, можно рассматривать от 0 до 1
вначале надо определять область сходимости ряда, разве нет?
у степенных рядов это признаком Даламбера обычно делают, а у вас эти неизвестные параметры...
Последний раз редактировалось Swetlana 28 ноя 2019, 15:19, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
-
- Сообщений: 1917
- Зарегистрирован: 09 сен 2007, 21:00
Область допустимых значений параметров
Со сходимостью все как раз просто: полиномы Лежандра составляют полную ортогональную систему функций на -1<x<1.
Последний раз редактировалось peregoudov 28 ноя 2019, 15:19, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Область допустимых значений параметров
1. Критерий сходимости ряда по ортогональной системе
2.Пусть он сходится к функции f, тогда
3.Проекция области на плоскость - это множество таких пар для которых существует положительная f, что а) соотношения из пункта 2 выполняются для k=0 (?)б)соотношения из пункта 2 выполняются для k=1 и 2, в)существуют такие что эти соотношения выполняются и для них, а ряд (1) сходится. Но раз речь о Лежандрах, то в) автоматом идет из а) и б).Предположим, нашли положительную f, что а) и б). Не доказываю, но можно сделать, что f Липшицева и даже гладкая.Определим коэффициенты формулами (2) и по неравенству Бесселя ряд (1) сходится.
4."Усеченная проблема моментов": При каких существует положительная мера такая, что
Я не помню на память, ответ вроде такой:
задает тупоугольный треугольник Т на плоскости
5. Из $ искомая проекция получается из треугольника Т линейным преобразованием
2.Пусть он сходится к функции f, тогда
3.Проекция области на плоскость - это множество таких пар для которых существует положительная f, что а) соотношения из пункта 2 выполняются для k=0 (?)б)соотношения из пункта 2 выполняются для k=1 и 2, в)существуют такие что эти соотношения выполняются и для них, а ряд (1) сходится. Но раз речь о Лежандрах, то в) автоматом идет из а) и б).Предположим, нашли положительную f, что а) и б). Не доказываю, но можно сделать, что f Липшицева и даже гладкая.Определим коэффициенты формулами (2) и по неравенству Бесселя ряд (1) сходится.
4."Усеченная проблема моментов": При каких существует положительная мера такая, что
Я не помню на память, ответ вроде такой:
задает тупоугольный треугольник Т на плоскости
5. Из $ искомая проекция получается из треугольника Т линейным преобразованием
Последний раз редактировалось Ian 28 ноя 2019, 15:19, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
-
- Сообщений: 1917
- Зарегистрирован: 09 сен 2007, 21:00
Область допустимых значений параметров
Слишком лихо Ладно, расскажу свои мысли.
Первая мысль такая: будем полагать при . Тогда функция распределения --- многочлен конечной степени. Как-нибудь определим область допустимых параметров. Понятно, что для бОльшего она может только расшириться. Будем надеяться, что существует предел
"Как-нибудь" удается проделать, хотя не без геморроя, для случая, когда только и отличны от нуля. Ответ такой: область допустимых параметров --- внутренность эллипса , а также внутренность (криволинейного) треугольника, образованного эллипсом и касательными , к нему. Так что ваш ответ с треугольником вряд ли верный.
Вторая мысль более геометрическая: рассмотрим как параметр, тогда равенство задает семейство гиперплоскостей в пространстве . Это семейство, наверное, имеет огибающую. Вот проекцию этой огибающей на плоскость надо найти. Можно, например, брать конечное число параметров и конечное число точек по . Тогда гиперплоскости высекут многогранник. Его проекция --- ломаная, а найти ее, наверное, можно методами, развитыми в математическом программировании. Но мне тут не хватает знаний и воображения.
P. S. По поводу ограниченности области. С одной стороны, компоненты усредненного тензора Гука не могут превосходить максимальной компоненты исходного тензора. С другой --- компоненты усредненного тензора Гука являются линейными функциями и . Расчет показывает, что разные компоненты растут по разным направлениям в плоскости . Поэтому с большой вероятностью область допустимых параметров ограничена. Надо мне будет вычислить границы, исходя из этих соображений...
Первая мысль такая: будем полагать при . Тогда функция распределения --- многочлен конечной степени. Как-нибудь определим область допустимых параметров. Понятно, что для бОльшего она может только расшириться. Будем надеяться, что существует предел
"Как-нибудь" удается проделать, хотя не без геморроя, для случая, когда только и отличны от нуля. Ответ такой: область допустимых параметров --- внутренность эллипса , а также внутренность (криволинейного) треугольника, образованного эллипсом и касательными , к нему. Так что ваш ответ с треугольником вряд ли верный.
Вторая мысль более геометрическая: рассмотрим как параметр, тогда равенство задает семейство гиперплоскостей в пространстве . Это семейство, наверное, имеет огибающую. Вот проекцию этой огибающей на плоскость надо найти. Можно, например, брать конечное число параметров и конечное число точек по . Тогда гиперплоскости высекут многогранник. Его проекция --- ломаная, а найти ее, наверное, можно методами, развитыми в математическом программировании. Но мне тут не хватает знаний и воображения.
P. S. По поводу ограниченности области. С одной стороны, компоненты усредненного тензора Гука не могут превосходить максимальной компоненты исходного тензора. С другой --- компоненты усредненного тензора Гука являются линейными функциями и . Расчет показывает, что разные компоненты растут по разным направлениям в плоскости . Поэтому с большой вероятностью область допустимых параметров ограничена. Надо мне будет вычислить границы, исходя из этих соображений...
Последний раз редактировалось peregoudov 28 ноя 2019, 15:19, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
-
- Сообщений: 1917
- Зарегистрирован: 09 сен 2007, 21:00
Область допустимых значений параметров
Маленькая поправочка к предыдущему сообщению: компоненты усредненного тензора не могут быть больше максимальной компоненты исходного, умноженной на 9
Решил задачу по наводке Ian'а, за что ему спасибо. Итак, имеется функция распределения f(x) на -1<x<1. Тогда для моментов второго и четвертого порядков выполняются неравенства
Теперь достаточно доказать обратное, то есть что возможно построить функцию распределения, если моменты удовлетворяют этим неравенствам, и область допустимых значений моментов у нас в кармане. Нетрудно проверить, что функция
(все коэффициенты положительны!) имеет моменты и . Остается пересчитать моменты в мои параметры и .
P. S. Функцию распределения можно написать много проще
Решил задачу по наводке Ian'а, за что ему спасибо. Итак, имеется функция распределения f(x) на -1<x<1. Тогда для моментов второго и четвертого порядков выполняются неравенства
Теперь достаточно доказать обратное, то есть что возможно построить функцию распределения, если моменты удовлетворяют этим неравенствам, и область допустимых значений моментов у нас в кармане. Нетрудно проверить, что функция
(все коэффициенты положительны!) имеет моменты и . Остается пересчитать моменты в мои параметры и .
P. S. Функцию распределения можно написать много проще
Последний раз редактировалось peregoudov 28 ноя 2019, 15:19, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Область допустимых значений параметров
Да, это неравенство Гельдера, и оно сильнее чем .Давно решал, забыл.peregoudov писал(а):Source of the post
Удивительно, что все решенные усеченные проблемы моментов(ПМ) не сведены в одной книге, в которой можно посмотреть решения и сослаться. Например, решение ПМ для эквивалентно UVW-теореме, доказанной сравнительно недавно.
Последний раз редактировалось Ian 28 ноя 2019, 15:19, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
-
- Сообщений: 1917
- Зарегистрирован: 09 сен 2007, 21:00
Область допустимых значений параметров
Окончательные уравнения границы в терминах и
Итак, окончательная картинка. Красным показана новая граница области, черным --- старая граница.
И еще я теперь знаю, куда нужно перенести тему: в Теорию вероятностей.
Итак, окончательная картинка. Красным показана новая граница области, черным --- старая граница.
И еще я теперь знаю, куда нужно перенести тему: в Теорию вероятностей.
Последний раз редактировалось peregoudov 28 ноя 2019, 15:19, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
-
- Сообщений: 1917
- Зарегистрирован: 09 сен 2007, 21:00
Область допустимых значений параметров
Так, теперь меня интересует обобщение этой задачи. Пусть функция распределения
где --- присоединенные функции Лежандра. Нужно определить границы для , .
где --- присоединенные функции Лежандра. Нужно определить границы для , .
Последний раз редактировалось peregoudov 28 ноя 2019, 15:19, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
-
- Сообщений: 1917
- Зарегистрирован: 09 сен 2007, 21:00
Область допустимых значений параметров
Эта задача выела мне мозг!
Но сначала уточнения к постановке. Как и в одномерном случае, симметрия приводит к тому, что интересны только коэффициенты и , то есть всего пять штук. Они являются средними функций (с учетом нормировки)
или, обозначая , (от в силу симметрии задачи остается только вещественная часть), уже без учета нормировки и взяв простейшие комбинации, средними от
При этом , .
Итак, задача может быть переформулирована в виде "двумерной усеченной проблемы моментов": при каких существует мера на квадрате , , такая что
Мне показалось удобнее оперировать с центральными моментами
Насколько я понимаю, основные условия на них --- условия положительной определенности ковариационной матрицы
Есть еще ограничения сверху на дисперсии, следующие из ,
Наконец, есть условия на средние
Естественно, пытался использовать тот же прием, что в одномерном случае: явно подобрать функцию распределения в виде линейной комбинации дельта-функций. Но задача какая-то заколдованная! Уж столько вариантов перебрал, никак не могу добиться, чтобы все коэффициенты были положительны :blink:
P. S. Я, конечно, неправильно область написал: там не квадрат, а треугольник , , поскольку .
Но сначала уточнения к постановке. Как и в одномерном случае, симметрия приводит к тому, что интересны только коэффициенты и , то есть всего пять штук. Они являются средними функций (с учетом нормировки)
или, обозначая , (от в силу симметрии задачи остается только вещественная часть), уже без учета нормировки и взяв простейшие комбинации, средними от
При этом , .
Итак, задача может быть переформулирована в виде "двумерной усеченной проблемы моментов": при каких существует мера на квадрате , , такая что
Мне показалось удобнее оперировать с центральными моментами
Насколько я понимаю, основные условия на них --- условия положительной определенности ковариационной матрицы
Есть еще ограничения сверху на дисперсии, следующие из ,
Наконец, есть условия на средние
Естественно, пытался использовать тот же прием, что в одномерном случае: явно подобрать функцию распределения в виде линейной комбинации дельта-функций. Но задача какая-то заколдованная! Уж столько вариантов перебрал, никак не могу добиться, чтобы все коэффициенты были положительны :blink:
P. S. Я, конечно, неправильно область написал: там не квадрат, а треугольник , , поскольку .
Последний раз редактировалось peregoudov 28 ноя 2019, 15:19, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Вернуться в «Теория вероятностей и Математическая статистика»
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 4 гостей