Бесконечное множество, элементами которого являются вещественные числа, обладает тем свойством, что модуль суммы элементов любого его конечного подмножества не превышает 2012.
Следует ли отсюда, что это множество счётно?
Счётно ли множество?
Счётно ли множество?
Последний раз редактировалось Xenia1996 28 ноя 2019, 15:49, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Счётно ли множество?
Конечно следует.
Последний раз редактировалось СергейП 28 ноя 2019, 15:49, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Счётно ли множество?
Ага, следует. Рассмотри сначала только положительные числа. На любом отрезке таких чисел конечное количество, следовательно, их можно занумеровать в порядке убывания. Потом точно также с отрицательными.
Последний раз редактировалось 12d3 28 ноя 2019, 15:49, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Счётно ли множество?
Предположим, что данное множество не счётно. Значит, оно имеет предельную точку. Если эта точка отлична от 0, то, начиная с некоторого номера, можно взять конечное число членов подпоследовательности, сумма которых превосходит по модулю 2012.
Пусть несчётное множество имеет предельную точку равную 0, и другой предельной точки нет.
Разобьём всю числовую прямую на ограниченные полуинтервалы. Таких полуинтервалов счётно. В каждом из них содержится только конечное число элементов множества (иначе бы существовала другая предельная точка), кроме полуинтервала, содержащего точку 0.
Будем методом половинного деления разбивать полуинтервал, содержащий 0, на новые полуинтервалы, в каждом будет содержаться только конечное число элементов множества. Объединение счётного количества полуинтервалов с конечным числом элементов счётно, т.е. получаем, что множество счётно.
Пусть несчётное множество имеет предельную точку равную 0, и другой предельной точки нет.
Разобьём всю числовую прямую на ограниченные полуинтервалы. Таких полуинтервалов счётно. В каждом из них содержится только конечное число элементов множества (иначе бы существовала другая предельная точка), кроме полуинтервала, содержащего точку 0.
Будем методом половинного деления разбивать полуинтервал, содержащий 0, на новые полуинтервалы, в каждом будет содержаться только конечное число элементов множества. Объединение счётного количества полуинтервалов с конечным числом элементов счётно, т.е. получаем, что множество счётно.
Последний раз редактировалось Swetlana 28 ноя 2019, 15:49, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
- JeffLebovski
- Сообщений: 650
- Зарегистрирован: 06 апр 2011, 21:00
Счётно ли множество?
А че олимпиадного то? У несчетного множества несчетное мноэество преджельных точек --- классическая теорема матана первого курса.
Последний раз редактировалось JeffLebovski 28 ноя 2019, 15:49, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Счётно ли множество?
Xenia1996 писал(а):Source of the post
Бесконечное множество, элементами которого являются вещественные числа, обладает тем свойством, что модуль суммы элементов любого его конечного подмножества не превышает 2012.
Следует ли отсюда, что это множество счётно?
Их можно сосчитать, значит множество счетное.
Последний раз редактировалось vicvolf 28 ноя 2019, 15:49, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
- JeffLebovski
- Сообщений: 650
- Зарегистрирован: 06 апр 2011, 21:00
Счётно ли множество?
Всмысле занумеровать натуральныыми? Ну это определние счетного...
Последний раз редактировалось JeffLebovski 28 ноя 2019, 15:49, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Вернуться в «Олимпиадные задачи»
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 1 гость