области отображения

so1o · Сообщение **so1o** » 10 апр 2012, 22:28

Найти область, в которую функция
$$w=f(z)$$

отображает область
$$G$$

.

$w=\sqrt{2}(-1+i)z^3$
$G=[\frac {\pi} {12}<argz<\frac {\pi} {3};1<|z|<3]$
область G я заштриховал,это получается колечко с разностью углов п/3 и п/12.
Что дальше делать?

надо расписывать z^3 или оно нам не потребуется? объясните алгоритм решения пожалуйста.

M	Расписывать надо - этого требует не только сама задача (ну ооочень простая), но и правила форума.

A	Расписывать надо - этого требует не только сама задача (ну ооочень простая), но и правила форума.

so1o · Сообщение **so1o** » 11 апр 2012, 06:18

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 11 апр 2012, 06:49

Нет, лучше не так расписать - $z^3=(\rho e^{i\varphi})^3=...$ и $$(-1+i)$$

- так же.

so1o · Сообщение **so1o** » 11 апр 2012, 16:56

ALEX165 писал(а):Source of the post
Нет, лучше не так расписать - $z^3=(\rho e^{i\varphi})^3=...$ и - так же.

$z^3=|z|^3e^{3i\arg z}$

$-1+i=\sqrt2e^{i\arg (-1+i)}$ так?

M

Поправил формулки. sqrt пишут со слешью - откуда иначе latex будет знать, что это корень, а не просто последовательность букв? Аргумент у корня следует окружать фигурными скобками - откуда иначе latex узнает, что именно Вы желаете поместить под знаком корня? При отсутствии этих скобок под корнем окажется только первый символ после \sqrt, если первым символом будет (, то под корнем окажется только (
Заодно по делу - а кто $\arg (-1+i)$ считать будет?

A

Поправил формулки. sqrt пишут со слешью - откуда иначе latex будет знать, что это корень, а не просто последовательность букв? Аргумент у корня следует окружать фигурными скобками - откуда иначе latex узнает, что именно Вы желаете поместить под знаком корня? При отсутствии этих скобок под корнем окажется только первый символ после \sqrt, если первым символом будет (, то под корнем окажется только (
Заодно по делу - а кто $\arg (-1+i)$ считать будет?

so1o · Сообщение **so1o** » 11 апр 2012, 20:20

so1o писал(а):Source of the post
ALEX165 писал(а):Source of the post
Нет, лучше не так расписать - $z^3=(\rho e^{i\varphi})^3=...$ и - так же.

$z^3=|z|^3e^{3i\arg z}$

$-1+i=\sqrt2e^{i\arg (-1+i)}$ так?

M Поправил формулки. sqrt пишут со слешью - откуда иначе latex будет знать, что это корень, а не просто последовательность букв? Аргумент у корня следует окружать фигурными скобками - откуда иначе latex узнает, что именно Вы желаете поместить под знаком корня? При отсутствии этих скобок под корнем окажется только первый символ после \sqrt, если первым символом будет (, то под корнем окажется только (
Заодно по делу - а кто $\arg (-1+i)$ считать будет?
A Поправил формулки. sqrt пишут со слешью - откуда иначе latex будет знать, что это корень, а не просто последовательность букв? Аргумент у корня следует окружать фигурными скобками - откуда иначе latex узнает, что именно Вы желаете поместить под знаком корня? При отсутствии этих скобок под корнем окажется только первый символ после \sqrt, если первым символом будет (, то под корнем окажется только (
Заодно по делу - а кто $\arg (-1+i)$ считать будет?

$arg(-1+i)=\pi+arctg(-1)$

может напишите сразу алгоритм?? а не так

so1o · Сообщение **so1o** » 11 апр 2012, 21:02

$w=\sqrt2\sqrt2|z|^3e^{3iarg(z)+i3\pi/4}$

$$1<|z|^3<27$$

$w=2|z|^3e^{i(3arg(z)+3\pi/4)}$
что с этим можно сделать?

$w=|w|e^{iarg(w)}=2|z|^3e^{i(3arg(z)+3\pi/4)}$

$$2<|w|<54 $$

so1o · Сообщение **so1o** » 11 апр 2012, 21:20

$arg(w)=3arg(z)+\frac {3\pi}{4}$

$\frac {\pi} {12}<arg(z)<\frac {\pi} {3}$

$\frac {\pi} {4}<3arg(z)<\pi$

$-\frac {\pi} {2}<3arg(z)+\frac {3\pi} {4}<\pi/4$
с этой задачей покончено, действительно ооооочень легкая :3

давайте приступим к следующей:
Найти область, в которую функция
$w=\frac1z$ отображает заштрихованную область.

там на рисунке показаны две прямые, одна из которых y=x,а вторая проходят через точки -2i и 2
с чего начать?

so1o · Сообщение **so1o** » 11 апр 2012, 21:33

точнее Jmz=x, вот так наверно будет правильней!

so1o · Сообщение **so1o** » 11 апр 2012, 21:52

so1o писал(а):Source of the post
$arg(w)=3arg(z)+\frac {3\pi}{4}$

$\frac {\pi} {12}<arg(z)<\frac {\pi} {3}$

$\frac {\pi} {4}<3arg(z)<\pi$

$-\frac {\pi} {2}<3arg(z)+\frac {3\pi} {4}<\pi/4$
с этой задачей покончено, действительно ооооочень легкая :3

давайте приступим к следующей:
Найти область, в которую функция
$w=\frac1z$ отображает заштрихованную область.

там на рисунке показаны две прямые, одна из которых y=x,а вторая проходят через точки -2i и 2
с чего начать?

через точки (2,0) и (0,-2i)

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 12 апр 2012, 04:31

so1o писал(а):Source of the post
с чего начать?

Вспомните, а если не знаете - изучите что такое отображение - инверсия. Множество прямых и окружностей им отображается в себя. Можно почитать здесь: [url=http://mmmf.msu.ru/zaoch/math/complex.pdf]http://mmmf.msu.ru/zaoch/math/complex.pdf[/url]

Но в принципе необходимые свойства можно получить, если вспомнить, что параметрически любую окружность на комплексной плоскости можно задать так:
$z(\lambda)=z_0+R e^{i\lambda}$ , $R\geq 0$ - вещественное.
А прямую - так:
$z(\lambda)=e^{i\varphi}(H+\lambda e^{i\frac{\pi}{2}})$ , $H\geq 0$ - вещественное,
$\varphi$ - вщественная сонстанта.
$\lambda$ - вещественный параметр.

yourdomain.com