Задачка про пределы (теория)

Relz · Сообщение **Relz** » 10 фев 2012, 00:29

На пересдаче экзамена по матану дали задачу, не смог решить:
$f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$
$\forall a>0$ $\lim \limits_{n \to + \infty} {f(na)}=0$
Верно ли, что
$\lim \limits_{x \to +\infty} {f(x)}=0$

Собственно, даже идей не было (разве что предел функции по Гейне расписал, но это ничего хорошего не дало).
Сейчас уже не актуально, просто хочется понять решение, надеюсь на ваши подсказки.
Заранее спасибо.

jmhan · Сообщение **jmhan** » 10 фев 2012, 03:59

$\lim \limits_{n \to + \infty} {f(na)}=0$ означает, что для произвольного $\varepsilon>0$ найдётся такое $$N$$

, что для всех $$n>N$$

выполняется $f(na)<\varepsilon$ . Дальше сами?

СергейП

jmhan писал(а):Source of the post $\lim \limits_{n \to + \infty} {f(na)}=0$ означает, что для произвольного $\varepsilon>0$ найдётся такое , что для всех выполняется $f(na)<\varepsilon$ . Дальше сами?

Не надо думать, что я придираюсь, но надо так
$|f(na)|<\varepsilon$
одно на экзамене примут, а второе - нет

Ian · Сообщение **Ian** » 10 фев 2012, 06:09

Утверждение неверно.
Рассмотрим факторизацию $\displaystyle \mathbb R /\mathbb Q$
По аксиоме выбора назначим в каждом классе представителя в $\displaystyle \mathbb R$ .
Произвольно выберем из этого континуума классов счетное подмножество, занумеруем его элементы и в k-м классе изменим представителя $$x_k$$

на такой, что $$x_k>k$$

(даже обозначения не будем менять)
На каждом классе, представитель которого $$x$$

, положим $f(t)=e^{-(t-x)^2}$
Так как $$na$$

принадлежит к тому же классу, что и $$a$$

, для всякого $$a$$

$f(na)\to 0$
Однако $$f(x_k)=1$$

, при том, что $x_k\to \infty$ , противоречие с пределом по Гейне

Форумчане , а вам второй вопрос (может ТС забыл это условие) Пусть в дополнение к посту 1 известно, что $$f$$

непрерывна. Верно ли тогда?

Relz · Сообщение **Relz** » 10 фев 2012, 15:06

Спасибо, я бы точно не решил данную задачу. Еще не могли бы вы оценить ее сложность?

Ian · Сообщение **Ian** » 10 фев 2012, 17:13

Relz писал(а):Source of the post Еще не могли бы вы оценить ее сложность?

Вопрос в яблочко кстати. Если в лекциях за этот семестр всяким примерам из теории множеств уделялось большое внимание, и факторизация R/Q по умножению хоть раз строилась -то вопрос на экзамене допустимый . Но например на мехмате МГУ у некоторых лекторов на отдельных потоках это было, а другие потоки узнали это на 3м курсе в функане.
Другой разговор - если еще дано, что функция непрерывна. Это лемма человека, фамилию которого я к сожалению забыл. И тому кто ее найдет или приведет свое док-во, обещаю +, а экзаменатор должен бы 5+

Relz · Сообщение **Relz** » 10 фев 2012, 18:21

Конкретно на матане теории множеств время вообще не уделялось, только на первой паре объяснили кванторы и отноения. Но на алгебре теорию множеств около месяца проходили, в том числе были фактор-множества. Никогда не думал, что они могут использоваться в матане
Функция точно не непрерывна - условие на всякий случай списал дословно.

John Michael функция не обязательно непрерывна. И это задача "на 5", так что зачет (точнее, 4) я получил.

jmhan · Сообщение **jmhan** » 10 фев 2012, 20:25

СергейП,
Разумеется, спасибо, что заметили, это просто опечатка.

Ian, Relz,
Задача, как оказалось, на внимательность и я на этом попался. Полагаю, что экзаменуемый должен заметить, что функция должна быть непрерывной, иначе незачёт; мне такое требование не кажется черезмерным, даже для первого курса.

yourdomain.com