Как одним числом определить точку в пространстве.

[Sonic86]

Можете также поинтересоваться классическим результатом Кантора о равномощности и - в доказательстве биекция строится явно.

[НатурФилософ]

Такая идея. Делим пространство на 8 равновеликих куба и нумеруем их от 0 до 7. Далее, тот кубик, в который попала точка снова делим на 8 равновеликих и т.д. Получаем последовательность цифр, которая определяет положение материальной точки, этой последовательности будет соответствовать вещественное число 0.(последовательность цифр).

тогда у вас у одной точки будет несколько номеров(бесконечных причем)

Собственно, правильно ли я думаю?

в правильном направлении

[folk]

Source of the post
тогда у вас у одной точки будет несколько номеров(бесконечных причем)

нет если делать что то в таком роде: для отрезка (размерность=1) [0..1) кодируем точку 1/3
1/3 < 1/2 значит первый 0далее кодируем 1/3 в отрезке [0..1/2)1/3 > 1/4 значит второй знак 1
далее кодируем 1/3 в отрезке [1/4..1/2)
....

то же самое и для n-мерного пространства. включая границу только один раз получаем что нет одинаковых кодов.
P.S. Кстати это почти готовая идея арифметического кодирования последовательности чисел - оно оптимальнее хаффмана поскольку число кодируется
дробным количеством бит.

[НатурФилософ]

ясно-и как вы для двумерного пространства сделаете?

[folk]

Source of the post
ясно-и как вы для двумерного пространства сделаете?

алгоритмически - сначала по х затем по y , геометрически это значит указать один из 4 квадратов на который мы разбиваем двумерный квадрат 1x1, с точки зрения структур данных это 4-дерево.

[НатурФилософ]

а можете описать алгоритм с разбиваниями квадратов?
Я тоже давно пытался построить наглядную биекцию между квадратом и отрезком при изучении теории множеств
Но потом выяснилось, что ничего хорошего там не будет

[folk]

наглядно - представьте дерево. Вершина квадрат 1x1
первый уровень под ним (в смысле 3d) - 4 вершины лежат в центрах четырех квадратов.
второй уровень под ним - каждый квадрат также разбит на 4 итого 16, проблема с краями решается волюнтаристски но одинаково на всех уровнях

итого от каждой вершины вниз 4 вершины - кодируем ребра 00 01 10 11, до любой точки теперь строится бесконечное дерево (так как мы кодируем на самом деле квадратики а не точки) путь и есть кодировка типа 10 10 10 10 10 10 - это будет в пределе допустим левый нижний угол

заметим что переход к N-мерному построению просто метку ребер делает 000....000 N

заметим также что любая фигура кодируется множеством квадратиков которые она пересекает или содержит (как при построении меры - верхняя и нижняя меры) - в пределе они для хороших фигур сходятся итого у вас получилось умение кодировать произвольные фигуры с произвольной точностью.
очень удобно когда вы показываете быстро некую геометрию, а человек делает увеличение части рисунка - тогда в этой части можно спуститься по дереву ниже и показать больше деталей...