Задача по квантовой механике

GennDALF · Сообщение **GennDALF** » 15 янв 2012, 06:40

Доброго всем времени суток!

Есть следующая задача:

Вычислите полную вероятность нахождения 1s-электрона в атоме водорода в той области пространства, которая должна быть недоступной для него с точки зрения классической механики.

Я пытаюсь понять, что подразумевается здесь под "точкой зрения классической механики". И где электрон с этой самой точки зрения не может находится.
Здесь подразумевается за первым Боровским радиусом? Или надо энергиями оперировать?
Укажите путь, пожалуйста, как мыслить нужно мне.
Спасибо!

Jeffry · Сообщение **Jeffry** » 15 янв 2012, 06:55

Попробуйте найти квадрат волновой функции на расстоянии первого боровского радиуса, а потом вычесть эту вероятность из 1.

GennDALF · Сообщение **GennDALF** » 15 янв 2012, 06:59

Т.е. это означает, что внутри сферы, ограниченной первым боровским радиусом, электрон может находится в любой точке?
Я лишь хочу понять.. Радиусом самого ядра мы конечно пренебрежем по его малости, а вот что до остальной части сферы? Откуда это следует, что электрон может свободно гулять внутри нее?

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 15 янв 2012, 09:13

GennDALF писал(а):Source of the post Я пытаюсь понять, что подразумевается здесь под "точкой зрения классической механики".

Электрон с определенной энергией, в данном случае равной энергии 1s состояния, не может разгуливать по всему пространству. Классически запрещенная область --- эта та, где потенциальная энергия превосходит полную. Однако волновая функция отлична от нуля во всем пространстве. Смысл задачи в том, чтобы оценить, насколько квантовая механика позволяет нарушить классический запрет.

GennDALF · Сообщение **GennDALF** » 15 янв 2012, 17:06

Учебник Блохинцева Д.И. поведал мне, что классически (согласно старой теории квантования, полученной Бором) вероятность обнаружить 1s-электрон в атоме отлична от нуля только на сфере радиуса r₀. И далее приводится сравнение вероятностных кривых для классической ( $\omega_{kl}$ ) и квантовой ( $\omega_{kv}$ ) теорий:

Вообще вероятность обнаружить электрон между двумя сферами радиусов r и r+dr записывается следующим образом: $\omega_{nl}(r)dr=R^2_{nl}(r)r^2dr$ .
Значит нам достаточно посчитать $\omega({r_0)$ и вычесть его из интеграла вышеприведенного выражения по r от $$0$$

до $\infty$ . Но т.к. такой интеграл представляет собой все пространство, то значит он равен 1.
Значит приходим к тому, что говорил Jeffry.

Собственно, для $$n=1$$

и

имеем: $\omega_{10}(r)=N^2_{10}e^{-2Z\frac{r}{a}}a^2{\left(\frac{r}{a}\right)}^2$ , где $a=\frac{h^2}{4\pi^2\mu^2q^2_e}=0.529\cdot10^{-10}m$

Здесь присутствует нормировочный коэффициент $N^2_{10}$ . Выбирать его надо сообразно условию нормировки, это понятно. Как его численно найти? Что-то не могу сообразить.

Проверьте, пожалуйста, правильность моих рассуждений и подскажите как вычислить коэффициент.
Спасибо!

Jeffry · Сообщение **Jeffry** » 15 янв 2012, 17:40

Полная вероятность найти электрон или интеграл по всему пространству равны 1.
Это и есть условие нормировки, из которого надо вычислять норм. множитель.

da67 · Сообщение **da67** » 16 янв 2012, 17:01

Jeffry писал(а):Source of the post Попробуйте найти квадрат волновой функции на расстоянии первого боровского радиуса,

Это размерная величина.

а потом вычесть эту вероятность из 1.

Это невозможно по размерности.

Jeffry · Сообщение **Jeffry** » 16 янв 2012, 19:31

Да, я ошибся. Оговорочка вышла. Сравнивать надо конечно вероятности.
И поскольку все изменения внутри 2 подынтегральных выражений, нормировочный множитель считать необязательно, при выделении выражения, равного 1, он исчезнет. У меня получилось в ответе:

$\frac {5} {e^2} = 0.6767...$

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 16 янв 2012, 20:49

Если задача ставится так, как она ставится, то есть нужно найти вероятность нахождения в классически недоступной области, так область эта лежит вне сферы удвоенного боровского радиуса, ответ тогда $13e^{-4}$ .

yourdomain.com