Доказать, что диаграмма универсальна относительно данных модулей тогда и только тогда, когда:
1)модуль есть объединение подмодулей
2)существует такие гомоморфизмы , что
Универсальная диаграмма модулей
- JeffLebovski
- Сообщений: 650
- Зарегистрирован: 06 апр 2011, 21:00
Универсальная диаграмма модулей
Последний раз редактировалось JeffLebovski 28 ноя 2019, 17:55, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Универсальная диаграмма модулей
Пусть диаграмма универсальна. По определению это означает, что для любого модуля и набора гомоморфизмов существует единственный морфизм такой что для любого . Пусть последовательно пробегает все значения множества индексов . Для фиксированного положим и рассмотрим набор гомоморфизмов , . Как было замечено выше, из универсальности следует, что существует единственный гомоморфизм такой, что и , если . Это как раз те , которые тебе нужны в п.2.
Пусть теперь диаграмма обладает свойствами 1 и 2. Покажем, что она универсальна. Для этого возьмем произвольный модуль и и набор гомоморфизмов . Нужно построить морфизм со свойствами, указанными выше, и показать, что он такой единственный. Морфизм строится так: . Пользуясь свойствами 1 и 2, покажи, что это корректное определение.
Пусть теперь диаграмма обладает свойствами 1 и 2. Покажем, что она универсальна. Для этого возьмем произвольный модуль и и набор гомоморфизмов . Нужно построить морфизм со свойствами, указанными выше, и показать, что он такой единственный. Морфизм строится так: . Пользуясь свойствами 1 и 2, покажи, что это корректное определение.
Последний раз редактировалось fri739 28 ноя 2019, 17:55, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
- JeffLebovski
- Сообщений: 650
- Зарегистрирован: 06 апр 2011, 21:00
Универсальная диаграмма модулей
Кажется я понял. Из 2 следует, что любого . Пусть для некоторого набора существует , такой что . Беру , значит существует такое , что , т.е. , . Теперь . Отсюда следует, что . Правильно ли я рассуждаю?
Последний раз редактировалось JeffLebovski 28 ноя 2019, 17:55, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Универсальная диаграмма модулей
В целом верно, но есть недочеты. В первой формуле опечатка. Должно быть так:
для любого выполняется .
Далее, утверждается, что если , то для некоторого . Это не совсем так. Произвольный элемент представляется в виде конечной суммы , где .
Дело в том, что в условии 1 на самом деле имеется в виду, что не теоретико-множественное объединение модулей , а их сумма . Действительно, возьмем ненулевые элементы , , где . Так как -модуль, то , но . Так что помимо объединения множеств содержит еще и всевозможные конечные линейные комбинации их элементов. На дальнейший ход решения это, врочем, не сильно повлияет.
Последний раз редактировалось fri739 28 ноя 2019, 17:55, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Вернуться в «Алгебра и теория чисел»
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 9 гостей