Добрый день. Подскажите, пожалуйста, идею решения такой задачи.
Не очень понятно, с чего начать...
Задача с натуральными числами
-
- Сообщений: 6
- Зарегистрирован: 31 янв 2011, 21:00
Задача с натуральными числами
Последний раз редактировалось maxandreev 28 ноя 2019, 17:42, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Задача с натуральными числами
maxandreev писал(а):Source of the post
Добрый день. Подскажите, пожалуйста, идею решения такой задачи.
Не очень понятно, с чего начать...
Надо посчитать число квадратичных вычетов по модулю 561 и воспользоваться принципом Дирихле.
Последний раз редактировалось Hottabych 28 ноя 2019, 17:42, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Задача с натуральными числами
Разность квадратов двух чисел равна произведению их суммы на разность. Минимальным натуральным числом, при котором среди n натуральных чисел найдутся два, сумма которых делится на 581 будет 281 (280+281=581). При n<281 таких двух натуральных чисел нет.
Последний раз редактировалось vicvolf 28 ноя 2019, 17:42, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Задача с натуральными числами
vicvolf писал(а):Source of the post
Разность квадратов двух чисел равна произведению их суммы на разность. Минимальным натуральным числом, при котором среди n натуральных чисел найдутся два, сумма которых делится на 581 будет 281 (280+281=581). При n<281 таких двух натуральных чисел нет.
а как доказать, что при n=281 условие задачи выполняется (если например брать пятое по счёту нат. число начиная с 19, или ещё как-нибудь произвольно выбирать 281-о натуральное число)?
Последний раз редактировалось астрон 28 ноя 2019, 17:42, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Задача с натуральными числами
астрон писал(а):Source of the post
а как доказать, что при n=281 условие задачи выполняется (если например брать пятое по счёту нат. число начиная с 19, или ещё как-нибудь произвольно выбирать 281-о натуральное число)?
Не требуется для любого n, а требуется найти пару чмсел среди n. В данном случае пара 280 и 281
Последний раз редактировалось vicvolf 28 ноя 2019, 17:42, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Задача с натуральными числами
Не требуется для любого n, а требуется найти пару чмсел среди n
.. среди "любого набора" n(281) натуральных чисел, т.е. числа 281 там может и не оказаться
Последний раз редактировалось астрон 28 ноя 2019, 17:42, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Задача с натуральными числами
vicvolf писал(а):Source of the post
Разность квадратов двух чисел равна произведению их суммы на разность. Минимальным натуральным числом, при котором среди n натуральных чисел найдутся два, сумма которых делится на 581 ...
В условии 561.
Почему сумма должна делиться на 561? Это число не простое. Например, сумма может делиться на 51, а разность на 11.
Последний раз редактировалось bas0514 28 ноя 2019, 17:42, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Задача с натуральными числами
наименьшая пара натуральных чисел, разность квадратов которых делится на 561, будет пара 31 и 20. Из этого можно сделать вывод, что искомое число n не меньше 31
Последний раз редактировалось астрон 28 ноя 2019, 17:42, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Задача с натуральными числами
и вообще, для произвольного набора n натуральных чисел, задача решения не имеет, потому что, числу в качестве пары нужно сопоставить число $$è=\frac {51k-11} {2}$$, которого в произвольном наборе чисел может не оказаться
Последний раз редактировалось астрон 28 ноя 2019, 17:42, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Задача с натуральными числами
Идею изложил Hottabych.
Чуть подробнее так:
Если - нечетное простое число, то по модулю , очевидно, будет квадратов.
Если , то число является квадратом по модулю тогда и только тогда, когда оно будет квадратом по модулям и .
Поэтому 109 чисел за глаза хватит.
Чуть подробнее так:
Если - нечетное простое число, то по модулю , очевидно, будет квадратов.
Если , то число является квадратом по модулю тогда и только тогда, когда оно будет квадратом по модулям и .
Поэтому 109 чисел за глаза хватит.
Последний раз редактировалось VAL 28 ноя 2019, 17:42, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Вернуться в «Алгебра и теория чисел»
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 0 гостей