Зиммерманн-2

[omega]

Source of the post
Построение описано в статье:
The Orchard Problem S. A. Burr, B. Grьnbaum and N. J. A. Sloane
[url=http://www2.research.att.com/~njas/doc/ORCHARD/orchard.html]http://www2.research.att.com/~njas/doc/ORCHARD/orchard.html[/url]

Эту статью мы уже обсуждали.

[url=http://e-science.ru/forum/index.php?s=&...st&p=328478]http://e-science.ru/forum/index.php?s=&...st&p=328478[/url]

А, да, это я помню, спасибо.

Ну, не то, что бы мы это подробно обсуждали. Вы сообщили, что, наконец-то, нашли ссылку на эту статью, привели формулу, по которой ищутся точки. Я ответила, что видела эту ссылку в самый первый день, но ничего там не поняла ввиду английского языка. Там очень много страниц, целый ряд.

Ссылку я в статью обязательно помещу.

Вы разобрались, например, с построением решения 16:37 или 19:52? Для меня это остаётся пока очень сложной задачей. Там кубические параболы, надо разбираться. Если бы хоть на русском языке было написано.

Оставляю задачу будущим исследователям задачи. Главное хоть что-то написать на русском языке, может быть, это облегчит путь тем, кто заинтересуется задачей. Я не видела пока ни одной статьи на русском языке по этой проблеме (кроме главы в книге М. Гарднера "Путешествие во времени").

[Pavlovsky]

Вы разобрались, например, с построением решения 16:37 или 19:52?

Очень приблизительно. Глубоко вникать пока не планирую.
К тому же получить решения в целых числах будет весьма проблематично. Там координаты точек вычисляются через элиптическую функцию веерштрасса. Одно определение этой функции через интеграл внушает уныние.

[omega]

Вот и я пока не планирую подробный разбор этих решений (может, и не только пока, а вообще не планирую )

Приступаю к написанию следующей части работы - построение решений с 5 точками на линии. Здесь у меня не ахти какие, но всё же есть оригинальные результаты. А по этой задаче вообще мало известно решений, по крайней мере, я много не нашла. Даже в таблице максимумов весьма скудные данные и картинок почти нет.

Source of the post
К тому же получить решения в целых числах будет весьма проблематично.
Там координаты точек вычисляются через элиптическую функцию веерштрасса. Одно определение этой функции через интеграл внушает уныние.

Это я предположила. Но в общем исследовании задачи надо отбросить ограничение о целочисленности координат. Во всех работах по этой задаче нет такого условия, кроме разве задачи Т. Уилкокса, но в этой задаче нужны не просто целые координаты, но ещё и минимальные.

Интересно вообще выполнить построение, получить конструкцию. Но тут нужно вот именно точное построение (хотя бы и в иррациональных координатах), ведь точки-то должны лежать на всех прямых!

Ещё рациональные координаты нужны, например, если мы хотим применить к конструкции перспективное преобразование (как в решении 13:22).

И тут возникает такой вопрос: если точки конструкции не имеют рациональных координат, может ли точка пересечения параллельных прямых выйти из бесконечности?? У меня этот вопрос так и остался не выясненным ещё по решению 17:16 (4 точки на линии). Там тоже решение с 4 удалёнными точками и одной удалённой прямой, но нарисовать эту конструкцию в рациональных координатах мне не удалось. Так как же вытащить удалённые точки и удалённую прямую из бесконечности в этом случае?

[omega]

Заумное решение 16:37 не знаю, но вот решение 16:30 простое и к тому же в рациональных координатах сделала:

Код: Выбрать все

(-2,8/3),(2/3,8/9),(3,0),(3/2,0),(6/5,8/5),(6,-8),(18/7,8/7),(18/11,-8/11),(0,8/7),(2,0),(6/7,8/7),(-6,8),(0,-8/5),(0,16/5),(-18/13,8/13),(-9/2,8)

Предлагается улучшить этот результат
А до максимума далеко - ещё надо 7 прямых! Да и неизвестно, существует ли максимальное решение в рациональных координатах.

[omega]

Ещё сделала одну попытку нарисовать конструкцию для решения 13:22

Код: Выбрать все

(-17/2,0),(17/2,0),(-29/10,18),(29/10,18),(-29/10,168/19,29/10,168/19),(-41905/8066,299880/28231),(41905/8066,299880/28231),(-29/10,6660935064/658350953),(29/10,6660935064/658350953),(-1827/3195,5929317/399659),(1827/3195,5929317/399659)

целый час считала и всё бестолку
Точки G и H опять на прямых не лежат.



Вот тут и начинаешь понимать точное геометрическое построение. Например, все знают как построить ту же самую пятиконечную звезду. Я тут уже рассказала, как нарисовала конструкцию решения 16:15 не в рациональных координатах. Но тут всё ясно: берём окружность любого радиуса (я взяла радиус 10), отмечаем её центр, откладываем угол 72 градуса, отмечаем точку на окружности, ещё откладываем угол 72 градуса, отмечаем вторую точку и т.д. Это все знают со школы. При таком построении точки на окружности не имеют рациональных координат. Тем не менее, каждая из них точно лежит на радиусе окружности, и мы можем вычислить её координаты с любой точностью. И все остальные точки в этой конструкции вычисляются через значение синуса угла 72 градуса или синуса угла 36 градусов (и радиус окружности). Всё! Больше ничего не надо знать.

А как геометрически точно построить конструкцию решения 13:22? Вот начинаем: берём, скажем, точку K, пусть она имеет координаты (0,0). Дальше что? Ну, проводим горизонтальную прямую KL, это понятно. На каком расстоянии от точки K брать точку L? Под каким углом проходит прямая KA? Ничего неизвестно! От чего плясать?

[omega]

Я тут задавала вопрос об изоморфных конструкциях. Мы это так и не выяснили. Может быть, правильно говорить не об изоморфных, а о топологически сходных конструкциях?

В случае n=10 существует много топологически различных решений (см. гл. 2 моей книги [22.10]), что позволило Дьюдени и его американскому коллеге Сэму Лойду придумать более 10 задач-головоломок.

(М. Гарднер. Путешествие во времени)

Имеется в виду задача N=10, k=4, то есть 4 точки на линии. Максимальное решение этой задачи - 5 линий.

Так вот, если я правильно поняла, можно найти 10 топологически различных решений этой задачи.
Это как раз то, что я подразумевала под не изоморфными решениями. Так мне кажется.

Вот ещё цитата про топологию:

Ее - топологию - часто называют «геометрией на резиновом листе». Она имеет дело со свойствами геометрических форм, которые сохраняются, если форма растягивается, скручивается, изгибается. Иными словами, деформируется без разрывов, разрезов и склеек.

(источник: [url=http://kp.ua/daily/080410/222805/)]http://kp.ua/daily/080410/222805/)[/url]

Сейчас найду все свои решения 10:5. А в книге Гарднера приведена, кажется, пятиконечная звезда.

Найдём все 10 топологически различных решений этой задачи?

[omega]

Ну, звезду элементарно получила из своего решения 16:12, удалив 6 лишних точек:

Код: Выбрать все

(22770,35420),(0,20240),(15180,20240),(30360,20240),(45540,20240),(22770,8855),(33396,14168),(12144,14168),(5060,0),(40480,0)

А это ещё несколько решений 10:5



Сколько в этих четырёх решениях топологически различных решений?

[Pavlovsky]

Dieter Gehrke выложил описание своего алгоритма. Чего то его алгоритм слишком простой. Не понятно как он таким алгоритмом нашел уникальные рекорды.

[Pavlovsky]

Дмитрий Каментский выложил описание своего алгоритма.

Итого описание своих алгоритмов выложили:

Il brigante Pennastorta (1 место)
Kendrick Boyd (2 место)
Jim Gillogly (3 место)
Michael van Fondern (4 место)
Dmitry Kamenetsky (6 место)
Dieter Gehrke (8 место)

Интересно бы посмотреть описание алгоритма от Peter Karpov. Во-первых Петр Карпов лучший россиянин. Во-вторых при обсуждении его алгоритма у нас не будет языкового барьера.

[omega]

Что там в новом конкурсе? Кто в курсе, расскажите, пожалуйста.
Я тут вылетела на 9 дней, компьютер сдох Пришлось купить новый. Долго возились с покупкой и настройкой.