ДЛЯ ВУЗОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ.
1. Пусть - невырожденная матрица порядка с положительными элементами. Докажите, что количество нулевых элементов матрицы не превосходит .
2. Квадрат разбит на квадраты . В некоторых из маленьких квадратов провели диагонали так, что никакие две не имеют общей точки. Определить максимально возможное число проведённых диагоналей.
3. Непрерывная функция удовлетворяет неравенствам для любых .
Доказать, что
4. Пусть - наибольший корень уравнения при .
Вычислить
5. Для каждого натурального указать многочлен вида все корни которого действительны и положительны. Найти все такие многочлены.
ДЛЯ ВУЗОВ НЕМАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ.
1'. Найти все многочлены с действительными коэффициентами, удовлетворяющие неравенству для любого .
2'. На окружности по разные стороны диаметра выбрали две точки и . Длины сторон четырёхугольника оказались целочисленными.
Мог ли в таком случае периметр четырёхугольника оказаться простым числом?
3'. Пусть . Доказать, что делится на
4'. Существует ли функция , удовлетворяющая тождеству ?
5'. Вычислить интеграл
Внутренний НГУшный тур см. здесь
МЕЖВУЗОВСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ
МЕЖВУЗОВСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ
Последний раз редактировалось bot 28 ноя 2019, 18:49, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
МЕЖВУЗОВСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ
Задача 3 когда-то тут разбиралась, я ее решил тогда, только не помню названия темы.
А 5' - это вообще хит олимпиад, и тут тоже была аналогичная.
А 5' - это вообще хит олимпиад, и тут тоже была аналогичная.
Последний раз редактировалось bas0514 28 ноя 2019, 18:49, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
МЕЖВУЗОВСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ
Задача 2. Отделим 2 крайние линии квадрата, допустим верхнюю и нижнюю. В любых 2-х других соседних горизонталях не может быть больше квадратиков с диагоналями, а в крайней и соседней с ней линиях - не более .
Это количество легко достигается, всего выходит квадратик.
P.S. Был не прав, это число верно при нечетных n, а при чётных будет чуть меньше.
Для получаем
Для имеем
Это количество легко достигается, всего выходит квадратик.
P.S. Был не прав, это число верно при нечетных n, а при чётных будет чуть меньше.
Для получаем
Для имеем
Последний раз редактировалось СергейП 28 ноя 2019, 18:49, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
МЕЖВУЗОВСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ
4'
Пусть
Тогда
А значит
Отсюда
Итого
Таким образом мы получили, что ,
Это преобразовываем в
Третья скобка всегда нечётная, поэтому целые корни этого уравнения 1 и 0
Проверка:
1) Если , тогда - противоречие.
2) Если , тогда , - противоречие.
Значит таких функций не существует.
5' - верно?
Пусть
Тогда
А значит
Отсюда
Итого
Таким образом мы получили, что ,
Это преобразовываем в
Третья скобка всегда нечётная, поэтому целые корни этого уравнения 1 и 0
Проверка:
1) Если , тогда - противоречие.
2) Если , тогда , - противоречие.
Значит таких функций не существует.
5' - верно?
Последний раз редактировалось MrDindows 28 ноя 2019, 18:49, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
МЕЖВУЗОВСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ
Да.
3' легко решается, если почленно сложить сумму в левой части равенства с такой же суммой, но в которой слагаемые записаны в обратном порядке: .
2' - не может, т.к. нетрудно видеть, что это будет четное число, не меньшее 4.
Последний раз редактировалось bas0514 28 ноя 2019, 18:49, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
- JeffLebovski
- Сообщений: 650
- Зарегистрирован: 06 апр 2011, 21:00
МЕЖВУЗОВСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ
Последний раз редактировалось JeffLebovski 28 ноя 2019, 18:49, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
МЕЖВУЗОВСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ
СергейП писал(а):Source of the post
Был не прав, это число верно при нечетных n, а при чётных будет чуть меньше.
При переходе от к несложно добавить . Поэтому строится при любом . И далее наоборот - это будет максимумом для чётных , а для нечётных чуть больше. Начиная с это "чуть больше" будет по меньшей мере 1:
/ / / 0 \
00 / 0 \
\ \ 0 \ \
\ 0 / 0 0
\ 0 / / /
Последний раз редактировалось bot 28 ноя 2019, 18:49, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
МЕЖВУЗОВСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ
Проверьте, пожалуйста, мое решение задачи 4, а то как-то не очень в нем уверен.
Очевидно, больше 1 и стремится к 1 с ростом .
Найдем сначала предел
, т.к. в числителе произведение на бесконечно малую, а знаменатель является суммой слагаемых, каждое из которых больше 1.
Тогда
.
Очевидно, больше 1 и стремится к 1 с ростом .
Найдем сначала предел
, т.к. в числителе произведение на бесконечно малую, а знаменатель является суммой слагаемых, каждое из которых больше 1.
Тогда
.
Последний раз редактировалось bas0514 28 ноя 2019, 18:49, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
МЕЖВУЗОВСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ
Вместо этого можно для написать теорему о конечном приращении на отрезке , тот же вывод что (n* приращение) стремится к 0, значит и у Вас верно
Последний раз редактировалось Ian 28 ноя 2019, 18:49, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Вернуться в «Олимпиадные задачи»
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 6 гостей