Помогите взять интеграл

Belka-svistelka
Сообщений: 29
Зарегистрирован: 28 фев 2010, 21:00

Помогите взять интеграл

Сообщение Belka-svistelka » 28 окт 2011, 11:34

Добрый день всем участникам.

Решала один из примеров и получила в качестве одного из промежуточных результатов такой интеграл:
$$\int{\frac{sin^3x} {sin^2x + C} dx} $$
Не могу придумать, как упростить подынтегральное выражение и взять интеграл, если С не равно 0. Буду благодарна за любую помощь. Спасибо.
Последний раз редактировалось Belka-svistelka 28 ноя 2019, 18:48, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 5455
Зарегистрирован: 28 июл 2009, 21:00

Помогите взять интеграл

Сообщение Ian » 28 окт 2011, 11:56

новая переменная $$\cos x$$, то есть $$-\sin x$$ "внести под лифференциал"
Последний раз редактировалось Ian 28 ноя 2019, 18:48, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Belka-svistelka
Сообщений: 29
Зарегистрирован: 28 фев 2010, 21:00

Помогите взять интеграл

Сообщение Belka-svistelka » 01 ноя 2011, 20:28

Ian,спасибо за подсказку. Мне стыдно признаться, но у меня все равно непонятно что получается:

$$\int{\frac {sin^3x} {sin^2x+C} dx} = \int{\frac {sinx sin^2x} {sin^2x+C} dx} = - \int{\frac {1 - cos^2x} {1 - cos^2x+C} d(cosx)}$$

Что дальше со всем этим делать? :blink: Спасибо.
Последний раз редактировалось Belka-svistelka 28 ноя 2019, 18:48, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Hellko
Сообщений: 261
Зарегистрирован: 11 июл 2011, 21:00

Помогите взять интеграл

Сообщение Hellko » 01 ноя 2011, 20:37

Belka-svistelka писал(а):Source of the post
Ian,спасибо за подсказку. Мне стыдно признаться, но у меня все равно непонятно что получается:

$$\int{\frac {sin^3x} {sin^2x+C} dx} = \int{\frac {sinx sin^2x} {sin^2x+C} dx} = - \int{\frac {1 - cos^2x} {1 - cos^2x+C} d(cosx)}$$

Что дальше со всем этим делать? :blink: Спасибо.

прибавьте и вычтите С в числителе. затем каждое слагаемое поделить на знаменатель. получится 2 табличных интеграла. (1+С - константа)
Последний раз редактировалось Hellko 28 ноя 2019, 18:48, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

СергейП
Сообщений: 4145
Зарегистрирован: 17 июл 2009, 21:00

Помогите взять интеграл

Сообщение СергейП » 01 ноя 2011, 20:42

Belka-svistelka писал(а):Source of the post
Ian,спасибо за подсказку. Мне стыдно признаться, но у меня все равно непонятно что получается:

$$\int{\frac {sin^3x} {sin^2x+C} dx} = \int{\frac {sinx sin^2x} {sin^2x+C} dx} = - \int{\frac {1 - cos^2x} {1 - cos^2x+C} d(cosx)}$$

Что дальше со всем этим делать? :blink: Спасибо.

$$t=\cos x$$

$$\displaystyle - \int{\frac {1 - cos^2x} {1 - cos^2x+C} d(cosx)}=- \int{\frac {1 - t^2} {1 -t^2+C} dt}=$$
$$\displaystyle =\int{\frac { t^2-1-C+C} {t^2-1-C} dt}=\int (1+\frac {C} {t^2-(C+1)}) dt}=...$$
Последний раз редактировалось СергейП 28 ноя 2019, 18:48, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Belka-svistelka
Сообщений: 29
Зарегистрирован: 28 фев 2010, 21:00

Помогите взять интеграл

Сообщение Belka-svistelka » 01 ноя 2011, 21:11

Спасибо всем, кто откликнулся.

В итоге у меня получилась такая штука:

$$- \int{\frac {1 - t^2 + C - C} {1 - t^2 + C} dt} = - \int{(1 - \frac {C} {1 - t^2 + C}) dt} $$

$$1+C = C_2 $$

$$-t + C\frac {1}{2\sqrt{C_2}}ln\frac{|\sqrt{C_2}+t|}{|\sqrt{C_2}-t|} +C_3 $$

Правильно?
Последний раз редактировалось Belka-svistelka 28 ноя 2019, 18:48, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Hellko
Сообщений: 261
Зарегистрирован: 11 июл 2011, 21:00

Помогите взять интеграл

Сообщение Hellko » 01 ноя 2011, 21:26

Belka-svistelka писал(а):Source of the post
Спасибо всем, кто откликнулся.

В итоге у меня получилась такая штука:

$$- \int{\frac {1 - t^2 + C - C} {1 - t^2 + C} dt} = - \int{(1 - \frac {C} {1 - t^2 + C}) dt} $$

$$1+C = C_2 $$

$$-t + C\frac {1}{2\sqrt{C_2}}ln\frac{|\sqrt{C_2}+t|}{|\sqrt{C_2}-t|} +C_3 $$

Правильно?

с2 и t разуплотнить обратно. (обратную замену)
похоже на правду.

вот только знаки что то несовпадают у вас и ответом выше. а ну да. СергейП случайно внес один знак минус и в числитель и в знаменатель.
Последний раз редактировалось Hellko 28 ноя 2019, 18:48, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Belka-svistelka
Сообщений: 29
Зарегистрирован: 28 фев 2010, 21:00

Помогите взять интеграл

Сообщение Belka-svistelka » 01 ноя 2011, 21:29

Hellko, спасибо. О замене помню
Последний раз редактировалось Belka-svistelka 28 ноя 2019, 18:48, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

mihailm
Сообщений: 3078
Зарегистрирован: 11 май 2010, 21:00

Помогите взять интеграл

Сообщение mihailm » 01 ноя 2011, 21:42

там иногда арктангенс
Последний раз редактировалось mihailm 28 ноя 2019, 18:48, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Belka-svistelka
Сообщений: 29
Зарегистрирован: 28 фев 2010, 21:00

Помогите взять интеграл

Сообщение Belka-svistelka » 01 ноя 2011, 21:58

mihailm, расскажите подробнее, пожалуйста, в каких случаях
Последний раз редактировалось Belka-svistelka 28 ноя 2019, 18:48, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test


Вернуться в «Для начинающих»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 14 гостей