дифференциальное уравнение

астрон

помогите решить:

$\frac{d^2 r}{dt^2}=G\frac{m}{r^2}$

V.V. · Сообщение **V.V.** » 16 окт 2011, 19:20

астрон писал(а):Source of the post
помогите решить:

$\frac{d^2 r}{dt^2}=G\frac{m}{r^2}$

Умножьте для начала на dr/dt и проинтегрируйте по t.

астрон

как умножение на $\frac{dr}{dt}$ облегчит интегрирование исходного уравнения?

Hottabych · Сообщение **Hottabych** » 16 окт 2011, 20:30

астрон писал(а):Source of the post
помогите решить:

$\frac{d^2 r}{dt^2}=G\frac{m}{r^2}$

Замена $\frac{dr}{dt}=y(r)$ . Посмотрите Сборник задач по дифференциальным уравнениям, автор Филиппов А.Ф. или Эльсгольца

астрон

Замена $\frac{dr}{dt}=y(r)$

спасибо, всё получилось

вообще-то, нет - не получилось

если бы в правой части присутствовало вместо "r" - "t", то действительно всё получалось бы очень хорошо.
А так, по-моему, уравнение только усложняется.

bas0514 · Сообщение **bas0514** » 16 окт 2011, 21:00

астрон писал(а):Source of the post
А так, по-моему, уравнение только усложняется.

Не усложняется.
$\displaystyle y \frac{dy}{dr}=G \frac{m}{r^2}$ - с разделяющимися переменными.

астрон

теперь ясно. Получается что уравнение приводит к такому интегралу:
$\int{\sqrt{\frac{r}{2Cr-2Gm}}dr}$
не посоветуете что-нибудь?

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 16 окт 2011, 21:44

астрон писал(а):Source of the post
теперь ясно. Получается что уравнение приводит к такому интегралу:
$\int{\sqrt{\frac{r}{2Cr-2Gm}}dr}$
не посоветуете что-нибудь?

Разделите переменные правильно и получатся простые табличные интегралы

астрон

Hottabych · Сообщение **Hottabych** » 16 окт 2011, 22:13

астрон писал(а):Source of the post
$y^2=2C-2Gm\frac{1}{r}$

А тут, по всей видимости, можно ввести параметр, поскольку уравнение разрешимо относительно $$r$$

yourdomain.com