угловая скорость стержня

Рубен · Сообщение **Рубен** » 02 авг 2011, 20:13

uxx писал(а):Source of the post Вы, прям, мистер-очевидность [url=http://e-science.ru/forum/index.php?s=&...st&p=299846]http://e-science.ru/forum/index.php?s=&...st&p=299846[/url].

Не увидел...

spx-vnx · Сообщение **spx-vnx** » 15 авг 2011, 14:26

Матрица поворота, соответствующая такому способу задания ориентации стержня выглядит следующим образом: $R = \begin{pmatrix}\cos\alpha\cos\beta & -\sin\alpha & -\sin\beta\cos\alpha\\ \sin\alpha\cos\beta & \cos\alpha & -\sin\beta\sin\alpha\\ \sin\beta & 0 & \cos\beta\end{pmatrix}$

$a^{i}$ - вектор $$a$$

в неподвижной СК
$a^{e}$ - вектор $$a$$

в связанной СК

$a^{i}=Ra^{e},a^{e}=R^{T}a^{i}$

тогда при вращении вариация этого вектора получается:

$\delta a^{i}=\left(\delta R\right)a^{e}=\left(\frac{\partial}{\partial\alpha}R\delta\alpha+\frac{\partial}{\partial\beta}R\delta\beta\right)a^{e}=\left(\left(\frac{\partial}{\partial\alpha}R\right)R^{T}\delta\alpha+\left(\frac{\partial}{\partial\beta}R\right)R^{T}\delta\beta\right)a^{i}$

с другой стороны:
$\delta a^{i}=\delta\phi\times a^{i}$

то есть
$\left[\delta\phi\times\right]=\left(\frac{\partial}{\partial\alpha}R\right)R^{T}\delta\alpha+\left(\frac{\partial}{\partial\beta}R\right)R^{T}\delta\beta$

тогда угловая скорость получается:
$\omega=\left(\begin{array}{c} \sin(\alpha)\dot{\beta}\\ -\cos(\alpha)\dot{\beta}\\ \dot{\alpha}\end{array}\right)$

===============================================================
ЗЫ: Хм.. Может матрицу поворота неправильно нашёл...

spx-vnx · Сообщение **spx-vnx** » 15 авг 2011, 16:38

Аааа.. Кажется, понял:
Из равенств
$\delta a^{i}=\left(\delta R\right)a^{e}=\left(\frac{\partial}{\partial\alpha}R\delta\alpha+\frac{\partial}{\partial\beta}R\delta\beta\right)a^{e}=\left(\left(\frac{\partial}{\partial\alpha}R\right)R^{T}\delta\alpha+\left(\frac{\partial}{\partial\beta}R\right)R^{T}\delta\beta\right)a^{i}$
и
$\delta a^{i}=\delta\phi\times a^{i}$
нельзя делать вывод:
$\left[\delta\phi\times\right]=\left(\frac{\partial}{\partial\alpha}R\right)R^{T}\delta\alpha+\left(\frac{\partial}{\partial\beta}R\right)R^{T}\delta\beta$
т.к. операция векторного произведения, не является гомеоморфизмом.
То есть если $x \times a = b$ и $y \times a = b$ , то, в общем случае, $x \neq y$ .

Но, вектор $\delta \varphi$ можно искать как $\delta \varphi = \frac{r \times \left(r + \delta r\right)}{r^2}$

Тогда получается такой результат:
$\vec{r}=r\left(\begin{array}{c} \cos\beta\cos\alpha\\ \cos\beta\sin\alpha\\ \sin\beta\end{array}\right)$

$\vec{\delta r}=\frac{\partial\vec{r}}{\partial\alpha}\delta\alpha+\frac{\partial\vec{r}}{\partial\beta}\delta\beta=\left(\begin{array}{c} -\cos\beta\sin\alpha\\ \cos\beta\cos\alpha\\ 0\end{array}\right)r\delta\alpha+\left(\begin{array}{c} -\sin\beta\cos\alpha\\ -\sin\beta\sin\alpha\\ \cos\beta\end{array}\right)r\delta\beta$

$\vec{\delta\varphi}=\frac{\vec{r}\times\left(\vec{r}+\vec{\delta r}\right)}{r^{2}}=\frac{r\times\delta r}{r^{2}}=\left(\begin{array}{c} \cos\beta\cos\alpha\\ \cos\beta\sin\alpha\\ \sin\beta\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c} -\cos\beta\sin\alpha\\ \cos\beta\cos\alpha\\ 0\end{array}\right)\delta\alpha+\left(\begin{array}{c} \cos\beta\cos\alpha\\ \cos\beta\sin\alpha\\ \sin\beta\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c} -\sin\beta\cos\alpha\\ -\sin\beta\sin\alpha\\ \cos\beta\end{array}\right)\delta\beta$

$\vec{\delta\varphi}=\left(\begin{array}{c} -\frac{1}{2}\sin2\beta\cos\alpha\\ -\frac{1}{2}\sin2\beta\sin\alpha\\ \cos^{2}\beta\end{array}\right)\delta\alpha+\left(\begin{array}{c} \sin\alpha\\ -\cos\alpha\\ 0\end{array}\right)\delta\beta$

spx-vnx · Сообщение **spx-vnx** » 15 авг 2011, 17:06

Кстати, напрямую из матрицы преобразования координат как-то можно угловую скорость вычислить?

Если матрица поворота $$R$$

зависит от вектора параметров $\xi$ (н-р углов Эйлера): $a^{i}=R\left(\xi\right)a^{e}$ ,
то вариацию вектора при повороте можно записать как: $\delta a^{i}=\left(\sum\frac{\partial R\left(\xi\right)}{\partial\xi}\delta\xi\right)a^{e}=\left(\sum\frac{\partial R\left(\xi\right)}{\partial\xi}\delta\xi\right)R^{T}\left(\xi\right)a^{i}$ .
Тогда вектор поворота будет равен $\delta\varphi=\frac{1}{a^{2}}a^{i}\times\delta a^{i}=\frac{1}{a^{2}}\left[a^{i}\times\left(\left(\sum\frac{\partial R\left(\xi\right)}{\partial\xi}\delta\xi\right)R^{T}\left(\xi\right)a^{i}\right)\right]$
И угловая скорость: $\omega=\frac{1}{a^{2}}\left[a^{i}\times\left(\left(\sum\frac{\partial R\left(\xi\right)}{\partial\xi}\dot{\xi}\right)R^{T}\left(\xi\right)a^{i}\right)\right]$ .
Вот только не понятно: почему в результате остался вектор $a^{i}$ ? Ведь для всех точек тела угловая скорость должна быть одинаковой...

spx-vnx · Сообщение **spx-vnx** » 16 авг 2011, 14:47

Уфф.. на мой взгляд, основная проблема в определении угловой скорости. Во всех учебниках пишут:

$\omega = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{d\varphi}{dt} \vec{l}$

Но одно и то же элементарное изменение вектора $\delta \vec{r}$ может быть описано поворотом вокруг различных осей. То есть нет однозначного определения вектора $\vec{l}$ . Поэтому необходимо искать вектор поворота не материальной точки, а всей системы координат, связаной с телом. Если $$e$$

- орты связанной с телом СК, то при повороте СК относительно неподвижной координаты орты изменятся следующим образом: $\delta e^{i}=\delta\varphi\times e^{i}$

с другой стороны, вариация любого вектора при повороте равна: $\delta r^{i}=\left(\frac{\partial R}{\partial\alpha}\delta\alpha+\frac{\partial R}{\partial\beta}\delta\beta\right)r^{e}$ .

Применяем эти выражения ко всем 3 ортам:
$r=e_{1}: \delta e_{1}^{i}=\left(\frac{\partial R}{\partial\alpha}\delta\alpha+\frac{\partial R}{\partial\beta}\delta\beta\right)e_{1}=\left(\begin{array}{c} -\sin\alpha\cos\beta\\ \cos\alpha\cos\beta\\ 0\end{array}\right)\delta\alpha+\left(\begin{array}{c} -\cos\alpha\sin\beta\\ -\sin\alpha\sin\beta\\ \cos\beta\end{array}\right)\delta\beta$

$r=e_{2}: \delta e_{2}^{i}=\left(\frac{\partial R}{\partial\alpha}\delta\alpha+\frac{\partial R}{\partial\beta}\delta\beta\right)e_{2}=\left(\begin{array}{c} -\cos\alpha\\ -\sin\alpha\\ 0\end{array}\right)\delta\alpha$

$r=e_{3}: \delta e_{3}^{i}=\left(\frac{\partial R}{\partial\alpha}\delta\alpha+\frac{\partial R}{\partial\beta}\delta\beta\right)e_{3}=\left(\begin{array}{c} \sin\beta\sin\alpha\\ -\sin\beta\cos\alpha\\ 0\end{array}\right)\delta\alpha+\left(\begin{array}{c} -\cos\beta\cos\alpha\\ -\cos\beta\sin\alpha\\ -\sin\beta\end{array}\right)\delta\beta$

и получаем 9 уравнений (3 из которых являются независимыми):

$-\sin\alpha\cos\beta\delta\alpha-\cos\alpha\sin\beta\delta\beta=\delta\varphi_{2}\sin\beta-\delta\varphi_{3}\sin\alpha\cos\beta$
$\cos\alpha\cos\beta\delta\alpha-\sin\alpha\sin\beta\delta\beta=\delta\varphi_{3}\cos\alpha\cos\beta-\delta\varphi_{1}\sin\beta$
$\cos\beta\delta\beta=\delta\varphi_{1}\sin\alpha\cos\beta-\delta\varphi_{2}\cos\alpha\cos\beta$
$-\cos\alpha\delta\alpha=-\delta\varphi_{3}\cos\alpha$
$-\sin\alpha\delta\alpha=-\sin\alpha\delta\varphi_{3}$
$0=\cos\alpha\delta\varphi_{1}+\delta\varphi_{2}\sin\alpha$
$\sin\beta\sin\alpha\delta\alpha-\cos\beta\cos\alpha\delta\beta=\delta\varphi_{2}\cos\beta+\delta\varphi_{3}\sin\beta\sin\alpha$
$-\sin\beta\cos\alpha\delta\alpha-\cos\beta\sin\alpha\delta\beta=-\sin\beta\cos\alpha\delta\varphi_{3}-\cos\beta\delta\varphi_{1}$
$-\sin\beta\delta\beta=-\sin\beta\sin\alpha\delta\varphi_{1}+\sin\beta\cos\alpha\delta\varphi_{2}$

В результате получаем:

$\delta\varphi=\left(\begin{array}{c} \sin\alpha\delta\beta\\ -\cos\alpha\delta\beta\\ \delta\alpha\end{array}\right)$

yourdomain.com