угловая скорость стержня

uxx · Сообщение **uxx** » 27 июл 2011, 10:48

Здравствуйте. Есть вот такая механическая схема

Необходимо выразить угловую скорость движения стержня через $\alpha$ , $\beta$ и их производные.
Положение некоторой точки на стержне можно задать вектором:
$r=\left(\begin{array}{c} a\cos\alpha\cos\beta\\ a\cos\beta\sin\alpha\\ \sin\beta\end{array}\right)$
скорость этой точки:
$\dot{r}=\left(\begin{array}{c} -a\dot{\alpha}\sin\alpha\cos\beta-a\dot{\beta}\cos\alpha\sin\beta\\ -a\dot{\beta}\sin\beta\sin\alpha+a\dot{\alpha}\cos\beta\cos\alpha\\ \dot{\beta}\cos\beta\end{array}\right)$
угловая скорость:
$\omega \times r = \dot{r}$
но из последнего отношения вектор $\omega$ выразить нельзя. Как быть?

uxx · Сообщение **uxx** » 27 июл 2011, 13:04

Из рисунка видно, что в неподвижной СК (обозначена $$x y z$$

) угловая скорость будет равна:
$\omega=\left(\begin{array}{c} \dot{\beta}\sin\alpha\\ -\dot{\beta}\cos\alpha\\ \dot{\alpha}\end{array}\right)$ .
Если подставить это выражение в формулу $\omega \times r = \dot{r}$ , то всё сходится. Но мне не понятно - как математически получить выражение для $\omega$ ?

Wild Bill · Сообщение **Wild Bill** » 27 июл 2011, 13:16

uxx писал(а):Source of the post ...но из последнего отношения вектор $\omega$ выразить нельзя. Как быть?

Последнее уравнение можно расписать в компонентах, обозначив $\omega=\left(\begin{array}{c} \omega_1\\ \omega_2\\ \omega_3\end{array}\right)$ , и решив получившуюся систему трёх уравнений относительно $\omega$ .

uxx · Сообщение **uxx** » 27 июл 2011, 13:25

Wild Bill система получается вырожденной. Векторное произведение:
$\omega\times r=\Omega r=\left(\begin{array}{ccc} 0 & -\omega_{3} & \omega_{2}\\ \omega_{3} & 0 & -\omega_{1}\\ -\omega_{2} & \omega_{1} & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} r_{1}\\ r_{2}\\ r_{3}\end{array}\right)$
Видно, что матрица $\Omega$ вырождена. В принципе, это и так ясно - есть бесконечно много комбинаций $a \times b$ дающих в результате $a \times b = c$ . Так что только этого уравнения для нахождения угловой скорости, очевидно, не достаточно.

Wild Bill · Сообщение **Wild Bill** » 27 июл 2011, 13:31

А зачем Вы так? Я думаю, можно проще
$\omega\times r=\left(\begin{array}{ccc} \omega_{2}r_3 - \omega_{3}r_2\\ \omega_{1}r_3 - \omega_{3}r_1\\ \omega_{1}r_2 - \omega_{2}r_1\\ \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} \dot{r}_{1}\\ \dot{r}_{2}\\ \dot{r}_{3}\end{array}\right)$

Только проверьте знаки в раскрытии векторного произведения, от балды ставил.

uxx · Сообщение **uxx** » 27 июл 2011, 13:33

Wild Bill писал(а):Source of the post
А зачем Вы так? Я думаю, можно проще
$\omega\times r=\left(\begin{array}{ccc} \omega_{2}r_3 - \omega_{3}r_2\\ \omega_{1}r_3 - \omega_{3}r_1\\ \omega_{1}r_2 - \omega_{2}r_1\\ \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} \dot{r}_{1}\\ \dot{r}_{2}\\ \dot{r}_{3}\end{array}\right)$

Только проверьте знаки в раскрытии векторного произведения, от балды ставил.

Система всё-равно получается вырожденной - без разницы как решать. Знак, кстати, у второй компоненты неверен. Проверьте.
============================================================================
Можно найти угловую скорость вращения стержня, задав его ориентацию кватернионом. Кватернион легко записывается при известных $\alpha$ и $\beta$ :

$\Lambda=\left(\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\alpha}{2},\left(\begin{array}{c} \sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\alpha}{2}\\ -\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\\ \cos\frac{\beta}{2}\sin\frac{\alpha}{2}\end{array}\right)\right)$

и вектор угловой скорости можно найти как: $\omega=2\dot{\Lambda}\circ\bar{\Lambda}$ . Результат, как и полагается, получается тем же самым.

Wild Bill · Сообщение **Wild Bill** » 27 июл 2011, 13:50

Да, конечно, систему будет вырожденной, так как у неё только две степени свободы. Значит одна компонента омеги выражается через две других.

uxx · Сообщение **uxx** » 27 июл 2011, 13:53

Wild Bill писал(а):Source of the post
Да, конечно, систему будет вырожденной, так как у неё только две степени свободы. Значит одна компонента омеги выражается через две других.

Про какое условия я забываю? Угловая скорость ведь должна определяться однозначно (так и получается при решении другими способами).

Ещё один вопрос. Я не совсем понимаю термин: угловая скорость в собственной системе координат. Формально всё понятно: нашли угловую скорость в неподвижной, выполнили преобразование из неподвижной в собственную - получили скорость в собственной. Но можно ли из самой механической схемы, из рисунка, определить угловую скорость в собственной СК? По определению $\vec{\omega}=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta\phi}{\Delta t}\vec{e}$ . В какой СК задан $\vec{e}$ , в той же получим и $\vec{\omega}$ . В моём случае я получаю $\omega^{*}=\left(\begin{array}{c} 0\\ -\dot{\beta}\\ \dot{\alpha}\end{array}\right)$ , а на самом деле рассчёты дают $\omega^{*}=\left(0,\left(\begin{array}{c} \dot{\alpha}\sin\beta\\ -\dot{\beta}\\ \dot{\alpha}\cos\beta\end{array}\right)\right)$

Wild Bill · Сообщение **Wild Bill** » 27 июл 2011, 14:40

Я тупо загнал систему в Mathematica и получил решение:
$w1\to\left[-\frac{rt2}{r3}, r1==0\&\&r2==0\&\&rt3==0\&\&r3\neq 0\right], w2\to\left[\frac{rt1}{r3},r1==0\&\&r2==0\&\&rt3==0\&\&r3\neq 0\right]$ ,
там получилось ещё два решения для {w1, w3} и {w2, w3}. То есть решение у системы имеется, но только при некоторых дополнительных условиях. Наиболее интересное решение
$w2\to\left[\frac{-rt3+r2 w1}{r1},r1\neq 0\&\&rt1+\frac{r2 rt2}{r1}+\frac{r3 rt3}{r1}==0\right], w3\to\left[\frac{rt2+r3 w1}{r1}, r1 \neq 0\&\&rt1+\frac{r2 rt2}{r1}+\frac{r3 rt3}{r1}==0\right]$

Собственная СК, как мне кажется, та, в которой нет поступательного движения.

uxx · Сообщение **uxx** » 27 июл 2011, 14:51

Wild Bill писал(а):Source of the post Собственная СК, как мне кажется, та, в которой нет поступательного движения.

Нет. Собственная СК - та, котрая привязана к телу и вращается вместе с ним. Поступательное движение в данной задаче я вообще не рассматриваю.

yourdomain.com