Добрый день, есть задача:
Даны значения функции
Используя линейный и квадратичный интерполяционный многочлен нужно вычислить значение функции в точке
И доказать что существует только один такой интерполяционный многочлен.
Начал смногочлена Ньютона.
Так как значением нам нужно вычислить в точке , то решать будем на отрезке
Тогда значение в точке равно :
Теперь вычислим квадратичный.
Как я понял, третью точку можно брать произвольно из таблицы, как справа так и слева.
Поэтому сначала были выбраны точки , но с ними значение идентично так как выходит
Поэтому ради "тренировки" взял точку справа
Так как
И того
Отсюда значение в точке,
------------
Теперь Лагранжа.
Опять берем отрезок и счетаем:
И того
Отсюда значение в точке равно
Что практически сходится с многочленом Ньютона, ошибка из за того что я позволял грубые округления при вычислениях.
Вычисления квадратичного многочлена привести не могу, так как я пока что так и не смог добиться нормального результата, сначала вышло 60+ потом 0,04.
Кажется все правильно, вопрос, а как теперь доказать что существует только один такой интерполяционный многочлен.
Интерполяционный многочлен
Интерполяционный многочлен
Последний раз редактировалось Nerfair 28 ноя 2019, 20:40, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Интерполяционный многочлен
ну наверно,от противного, предположить что таких многочлена -2 и расписать каждый из них, но для линейного многочлена-это очевидно т.к. через 2 точки можно провести только 1 прямую
Последний раз редактировалось k1ng1232 28 ноя 2019, 20:40, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Интерполяционный многочлен
Nerfair писал(а):Source of the post
Как я понял, третью точку можно брать произвольно из таблицы, как справа так и слева.
Но от этого будет зависеть вид интерполяционного многочлена и, соответственно, его значение в точке .
Nerfair писал(а):Source of the post
Кажется все правильно, вопрос, а как теперь доказать что существует только один такой интерполяционный многочлен.
Теорема. Даны пары чисел (х0,у0), (х1,у1), ... ,(xn,yn). Пречем все ИКСЫ РАЗНЫЕ. Тогда существует единственный многочлен степени n: Pn(x)=a0+a1*x+...+an*x^n такой, что P(x0)=y0,..., P(xn)=yn.
Доказательство состоит в том, что записывая требования P(x0)=y0,..., P(xn)=yn, получим систему линейных уравнений для определения a0, ... ,an. Определитель этой системы имеет вид так называемого определителя Вандермонда, который (доказано) не обращается в 0. Поэтому система имеет ЕДИНСТВЕННОЕ решение, а потому интерполяционный многочлен определяется однозначно.
Последний раз редактировалось venja 28 ноя 2019, 20:40, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Интерполяционный многочлен
venja писал(а):Source of the post
Теорема. Даны пары чисел (х0,у0), (х1,у1), ... ,(xn,yn). Пречем все ИКСЫ РАЗНЫЕ. Тогда существует единственный многочлен степени n: Pn(x)=a0+a1*x+...+an*x^n такой, что P(x0)=y0,..., P(xn)=yn.
Доказательство состоит в том, что записывая требования P(x0)=y0,..., P(xn)=yn, получим систему линейных уравнений для определения a0, ... ,an. Определитель этой системы имеет вид так называемого определителя Вандермонда, который (доказано) не обращается в 0. Поэтому система имеет ЕДИНСТВЕННОЕ решение, а потому интерполяционный многочлен определяется однозначно.
Мне давно было непонятно - а многочлена степени n+1 не существует? Или просто он не единственный?
Последний раз редактировалось Andrew58 28 ноя 2019, 20:40, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Интерполяционный многочлен
venja писал(а):Source of the postNerfair писал(а):Source of the post
Как я понял, третью точку можно брать произвольно из таблицы, как справа так и слева.
Но от этого будет зависеть вид интерполяционного многочлена и, соответственно, его значение в точке .
Cпасибо за теорему, постараюсь разобраться, а можете рассказать по подробнее, как изменится вид? Что Вы имеете ввиду под этим? Благо про значение понял. Представив на примере.
Последний раз редактировалось Nerfair 28 ноя 2019, 20:40, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Интерполяционный многочлен
Andrew58 писал(а):Source of the postvenja писал(а):Source of the post
Теорема. Даны пары чисел (х0,у0), (х1,у1), ... ,(xn,yn). Пречем все ИКСЫ РАЗНЫЕ. Тогда существует единственный многочлен степени n: Pn(x)=a0+a1*x+...+an*x^n такой, что P(x0)=y0,..., P(xn)=yn.
Доказательство состоит в том, что записывая требования P(x0)=y0,..., P(xn)=yn, получим систему линейных уравнений для определения a0, ... ,an. Определитель этой системы имеет вид так называемого определителя Вандермонда, который (доказано) не обращается в 0. Поэтому система имеет ЕДИНСТВЕННОЕ решение, а потому интерполяционный многочлен определяется однозначно.
Мне давно было непонятно - а многочлена степени n+1 не существует? Или просто он не единственный?
Конечно, не единственный. Для многочлена степени n+1 получим систему из n+1 уравнений (как и прежде), но для n+2 неизвестных (это коэффициенты многочлена n+1 степени). У такой системы бесконечное множество решений, а потому и получим бесконечно много многочленов n+1 степени, принимающих заданные значения.
Nerfair писал(а):Source of the post
а можете рассказать по подробнее, как изменится вид? Что Вы имеете ввиду под этим?
Ну постройте два многочлен Лагранжа (или Ньютона), добавив сначала третью точку слева, а потом справа. И убедитесь.
Последний раз редактировалось venja 28 ноя 2019, 20:40, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Интерполяционный многочлен
venja писал(а):Source of the post
Ну постройте два многочлен Лагранжа (или Ньютона), добавив сначала третью точку слева, а потом справа. И убедитесь.
Аа.. в этом плане. Да, строил, меняются.
Я просто думал название или что то в этом роде. Спасибо.
Последний раз редактировалось Nerfair 28 ноя 2019, 20:40, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Интерполяционный многочлен
venja писал(а):Source of the post
Конечно, не единственный. Для многочлена степени n+1 получим систему из n+1 уравнений (как и прежде), но для n+2 неизвестных (это коэффициенты многочлена n+1 степени). У такой системы бесконечное множество решений, а потому и получим бесконечно много многочленов n+1 степени, принимающих заданные значения.
Спасибо. До Вашего разъяснения я наивно и безосновательно полагал, что слухи о единственности интерполирующего многочлена слегка преувеличены.
Последний раз редактировалось Andrew58 28 ноя 2019, 20:40, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Интерполяционный многочлен
Добрый день, появился еще один вопрос, найти погрешность интерполяции.
В интернете нашел что счетается по функции
Тоесть получается что для линейного интерполяционного многочлена найти порешность мы сможем по формуле в нашем случае, так как мы счетаем на отрезке выходит погрешность будет и отсюда вопрос, если значение интерполяционного многочлена Ньютона мы знаем, он у нас вышел то как найти функцию, если у нас ее вроде как и нет.
Можно конечно подумать, того грубо говоря на этом отрезке и того на каждый x с шагом 0,1 приходтся 0,13 y'ка, и грубо говоря , и впринципе сходится с решением методом Лагранжа. Теперь погрешность.
В интернете нашел что счетается по функции
Тоесть получается что для линейного интерполяционного многочлена найти порешность мы сможем по формуле в нашем случае, так как мы счетаем на отрезке выходит погрешность будет и отсюда вопрос, если значение интерполяционного многочлена Ньютона мы знаем, он у нас вышел то как найти функцию, если у нас ее вроде как и нет.
Можно конечно подумать, того грубо говоря на этом отрезке и того на каждый x с шагом 0,1 приходтся 0,13 y'ка, и грубо говоря , и впринципе сходится с решением методом Лагранжа. Теперь погрешность.
Последний раз редактировалось Nerfair 28 ноя 2019, 20:40, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Интерполяционный многочлен
Для оценки погрешности нужна оценка сверху для n+1 производной от исходной функции. А этой информации нет.
Последний раз редактировалось venja 28 ноя 2019, 20:40, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 4 гостей