ЛНДУ второго порядка

Бзяка · Сообщение **Бзяка** » 21 июн 2011, 16:57

Здраствуйте уважаемые Математики! Если у Вас есть немного помоите разобраться.
$y" +3y'+2y=\frac {1} {e^{x}+1}$
$$ y" +3y'+2y=0 $$

$k= \frac {-3\pm 1} {2}$
$k_{1} = -2 , k_{2}= -1$
$y_{0} = c_{1} e^{-2x} + c_{2} e^{-x}$
$y = c_{1}(x) e^{-2x} + c_{2}(x) e^{-x}$
$y_{1} = e^{-2x}, y_{2}= e^{-x},$
$y_{1}' = -2e^{-2x}, y_{2}'=- e^{-x}$
$c_{1}(x)' e^{-2x} + c_{2}(x)'e^{-x} = 0$
$c_{1}(x)' -2e^{-2x} + c_{2}(x)' -e^{-x}= \frac {1} {e^{x}+1$
$c_{1}(x)' e^{-2x} + c_{2}(x)' = 0$
$c_{1}(x)' -2e^{-2x} + c_{2}(x)' -e^{-x}= \frac {1} {e^{x}+1$
$\Delta = \begin{vmatrix} e^{-x}& 1 \\-2e^{-2x} & -e^{-x}\end{vmatrix} = 2e^{-x}(e^{-x} -1)$
$\Delta c_{1}(x)' =\begin{vmatrix} 0 & 1 \\\frac {1} {e^{x}+1} & -e^{-x}\end{vmatrix} = - \frac {1} {e^{x}+1}$
$\Delta c_{2}(x)' =\begin{vmatrix} e^{-x}& 0 \\-2e^{-2x} & \frac {1} {e^{x}+1}\end{vmatrix} = \frac {e^{-x} {e^{x}+1}$
$c_{1}(x)' = - \frac {1} {(e^{x} +1)2e^{-x}(e^{-x} - 1)}$
$c_{2}(x)' = \frac {1} {2(e^{x}+1)(e^{-x} - 1)}$
$\int - \frac {dx} {(e^{x} +1)2e^{-x}(e^{-x} - 1)}$
$\int \frac {dx} {2(e^{x}+1)(e^{-x} - 1)}$
Как вычислить два последних интеграла я незнаю, подскажите пожалуйста

СергейП

Бзяка писал(а):Source of the post
Здраствуйте уважаемые Математики! Если у Вас есть немного помоите разобраться.
$y" +3y'+2y=\frac {1} {e^{x}+1}$

$k= \frac {-3\pm 1} {2}$
$k_{1} = -2 , k_{2}= -1$
$y_{0} = c_{1} e^{-2x} + c_{2} e^{-x}$
$y = c_{1}(x) e^{-2x} + c_{2}(x) e^{-x}$
$y_{1} = e^{-2x}, y_{2}= e^{-x},$
$y_{1}' = -2e^{-2x}, y_{2}'=- e^{-x}$

$c_{1}(x)' e^{-2x} + c_{2}(x)'e^{-x} = 0$
$-2c_{1}(x)' e^{-2x} - c_{2}(x)' e^{-x}= \frac {1} {e^{x}+1}$

$c_{1}(x)' e^{-x} + c_{2}(x)' = 0$
$-2 c_{1}(x)' e^{-2x} - c_{2}(x)' e^{-x}= \frac {1} {e^{x}+1 }$

$\Delta = \begin{vmatrix} e^{-x}& 1 \\-2e^{-2x} & -e^{-x}\end{vmatrix} = e^{-2x}$
$\Delta _1 =\begin{vmatrix} 0 & 1 \\\frac {1} {e^{x}+1} & -e^{-x}\end{vmatrix} = - \frac {1} {e^{x}+1}$
$\Delta _2 =\begin{vmatrix} e^{-x}& 0 \\-2e^{-2x} & \frac {1} {e^{x}+1}\end{vmatrix} = \frac {e^{-x}} {e^{x}+1}$

$c_{1}(x)' = - \frac {1} {(e^{x} +1)e^{-2x}}$
$c_{2}(x)' = \frac {1} {(e^{x}+1)e^{-x}}$

Поправил.
Теперь интегралы берущиеся

bas0514 · Сообщение **bas0514** » 21 июн 2011, 18:17

Интеграл от любой рациональной функции от $$e^x$$

можно найти заменой $$e^x=t$$

.

Бзяка · Сообщение **Бзяка** » 21 июн 2011, 18:55

Спасибо, Вам, за исправления и советы.
Я только не понял, как у Вас получилось дельта таким и если проводить замену e^x=t, то e^-x=1/t e^-2x=1/t², а dx=dt ?

bas0514 · Сообщение **bas0514** » 21 июн 2011, 19:41

Бзяка писал(а):Source of the post
если проводить замену e^x=t, то e^-x=1/t e^-2x=1/t²

Да.

Бзяка писал(а):Source of the post
а dx=dt ?

$x=\ln t$ , $$dx=dt/t$$

.

Бзяка · Сообщение **Бзяка** » 21 июн 2011, 19:48

Спасибо Вам еще раз, Б.А.С.

СергейП

Бзяка писал(а):Source of the post Я только не понял, как у Вас получилось дельта таким

$\Delta = \begin{vmatrix} e^{-x}& 1 \\-2e^{-2x} & -e^{-x}\end{vmatrix} = -e^{-x} \cdot e^{-x} + 2e^{-2x} = -e^{-2x}+2e^{-2x}=e^{-2x}$

yourdomain.com