Мне эта задачка показалась ну очень простой. Буквально первая идея привела к решению. А Вы как считаете?
Задачка с индийской математической олимпиады
Задачка с индийской математической олимпиады
Найти все функции
.
![$$ \forall x, y, z\in \mathbb{R} \, \, f(x^2+yf(z))=xf(x)+zf(y)$$ $$ \forall x, y, z\in \mathbb{R} \, \, f(x^2+yf(z))=xf(x)+zf(y)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%5Cforall%20x%2C%20y%2C%20z%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%20%5C%2C%20%5C%2C%20f%28x%5E2%2Byf%28z%29%29%3Dxf%28x%29%2Bzf%28y%29%24%24)
Мне эта задачка показалась ну очень простой. Буквально первая идея привела к решению. А Вы как считаете?
Мне эта задачка показалась ну очень простой. Буквально первая идея привела к решению. А Вы как считаете?
Последний раз редактировалось Equinoxe 28 ноя 2019, 21:00, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Задачка с индийской математической олимпиады
неправильное решение:
Последний раз редактировалось Sonic86 28 ноя 2019, 21:00, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Задачка с индийской математической олимпиады
Первое что пришло в голову: f(u)=u. Осталось найти остальные решения
Последний раз редактировалось Ludina 28 ноя 2019, 21:01, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Задачка с индийской математической олимпиады
Запишем 2 уравнения (переименовывая переменные):
![$$ f(x^2+yf(z))=xf(x)+zf(y)$$ $$ f(x^2+yf(z))=xf(x)+zf(y)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20f%28x%5E2%2Byf%28z%29%29%3Dxf%28x%29%2Bzf%28y%29%24%24)
![$$ f(y^2+xf(z))=yf(y)+zf(x)$$ $$ f(y^2+xf(z))=yf(y)+zf(x)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20f%28y%5E2%2Bxf%28z%29%29%3Dyf%28y%29%2Bzf%28x%29%24%24)
Из которых:
![$$\frac{f(y)}{f(x)}=\frac{f(x^2+yf(z))-xf(x)}{f(y^2+xf(z))-yf(y)}$$ $$\frac{f(y)}{f(x)}=\frac{f(x^2+yf(z))-xf(x)}{f(y^2+xf(z))-yf(y)}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cfrac%7Bf%28y%29%7D%7Bf%28x%29%7D%3D%5Cfrac%7Bf%28x%5E2%2Byf%28z%29%29-xf%28x%29%7D%7Bf%28y%5E2%2Bxf%28z%29%29-yf%28y%29%7D%24%24)
Обращаем внимание, что отношение справа не должно зависить от z. Такие же соотношения получаются для остальных двух переменных. Делаем вывод:
![$$f(y^2+xf(z))-yf(y)=f(x)\psi(z)$$ $$f(y^2+xf(z))-yf(y)=f(x)\psi(z)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f%28y%5E2%2Bxf%28z%29%29-yf%28y%29%3Df%28x%29%5Cpsi%28z%29%24%24)
(или не делаем - пишу "по первому впечатлению")
И вот 2 варианта ответа:
f(x)=x;
f(x)=0.
Может, еще что-то есть...
Из которых:
Обращаем внимание, что отношение справа не должно зависить от z. Такие же соотношения получаются для остальных двух переменных. Делаем вывод:
(или не делаем - пишу "по первому впечатлению")
И вот 2 варианта ответа:
f(x)=x;
f(x)=0.
Может, еще что-то есть...
Последний раз редактировалось Ludina 28 ноя 2019, 21:01, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Задачка с индийской математической олимпиады
Ludina писал(а):Source of the post
Запишем 2 уравнения (переименовывая переменные):
Из которых:
Обращаем внимание, что отношение справа не должно зависить от z. Такие же соотношения получаются для остальных двух переменных. Делаем вывод:
(или не делаем - пишу "по первому впечатлению")
И вот 2 варианта ответа:
f(x)=x;
f(x)=0.
Может, еще что-то есть...
Ага, именно они. Решала по-другому — представила, что x=z=0, а дальше всё по маслу
Последний раз редактировалось Equinoxe 28 ноя 2019, 21:01, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Задачка с индийской математической олимпиады
Объясните мне вот это место, плиз
Это неверно. Возьмите
Уравнение эквивалентно
Последний раз редактировалось Sonic86 28 ноя 2019, 21:01, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Задачка с индийской математической олимпиады
Хм, Вы правы, есть ещё как минимум f(1)=const.
Сейчас поищу
Последний раз редактировалось Equinoxe 28 ноя 2019, 21:01, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Задачка с индийской математической олимпиады
Последний раз редактировалось Sonic86 28 ноя 2019, 21:01, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Задачка с индийской математической олимпиады
А хорошая идея, кстати. Отсюда видно, что решением уравнения
Последний раз редактировалось bas0514 28 ноя 2019, 21:01, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Задачка с индийской математической олимпиады
На основании того, что
,
, и откидывая случай
- константа.
1)![$$f(x^2+yf(z))=xf(x)+zf(y)$$ $$f(x^2+yf(z))=xf(x)+zf(y)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f%28x%5E2%2Byf%28z%29%29%3Dxf%28x%29%2Bzf%28y%29%24%24)
![$$f(x^2+yf(z))=-xf(-x)+zf(y)$$ $$f(x^2+yf(z))=-xf(-x)+zf(y)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f%28x%5E2%2Byf%28z%29%29%3D-xf%28-x%29%2Bzf%28y%29%24%24)
Значит![$$f(x)=-f(-x)$$ $$f(x)=-f(-x)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f%28x%29%3D-f%28-x%29%24%24)
2) Предположим что есть
- отличное от нуля, такое что ![$$f(c)=0$$ $$f(c)=0$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f%28c%29%3D0%24%24)
Положим
, получим ![$$f(yf(c))=cf(y)$$ $$f(yf(c))=cf(y)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f%28yf%28c%29%29%3Dcf%28y%29%24%24)
откуда
.
3) Положим
, получим![$$f(x^2-xf(x))=xf(x)-xf(x)=0$$ $$f(x^2-xf(x))=xf(x)-xf(x)=0$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f%28x%5E2-xf%28x%29%29%3Dxf%28x%29-xf%28x%29%3D0%24%24)
Или![$$f(x^2-f(x^2))=0$$ $$f(x^2-f(x^2))=0$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f%28x%5E2-f%28x%5E2%29%29%3D0%24%24)
Значит![$$f(x^2)=x^2$$ $$f(x^2)=x^2$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f%28x%5E2%29%3Dx%5E2%24%24)
На основании пункта 1:![$$f(-x^2)=-x^2$$ $$f(-x^2)=-x^2$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f%28-x%5E2%29%3D-x%5E2%24%24)
Тоесть![$$f(x)=x$$ $$f(x)=x$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f%28x%29%3Dx%24%24)
Проверьте плиз)
1)
Значит
2) Предположим что есть
Положим
3) Положим
Или
Значит
На основании пункта 1:
Тоесть
Проверьте плиз)
Последний раз редактировалось MrDindows 28 ноя 2019, 21:01, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Вернуться в «Школьная математика»
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 10 гостей