Найти значение выражения

Equinoxe · Сообщение **Equinoxe** » 31 май 2011, 09:59

Вместе с пользователем age с dxdy мы (по большей части age) придумали несколько задачек, выкладываю одну из них:
Найти значение выражения $\sqrt{1+C\sqrt{1+(C+1)\sqrt{1+(C+2)\dots}}}$

Ian · Сообщение **Ian** » 31 май 2011, 11:07

Equinoxe писал(а):Source of the post
Найти значение выражения $\sqrt{1+C\sqrt{1+(C+1)\sqrt{1+(C+2)\dots}}}$

Equinoxe · Сообщение **Equinoxe** » 31 май 2011, 11:25

Ian писал(а):Source of the post
Equinoxe писал(а):Source of the post
Найти значение выражения $\sqrt{1+C\sqrt{1+(C+1)\sqrt{1+(C+2)\dots}}}$

Ага, ответ верный. А доказывали через что?

Ian · Сообщение **Ian** » 31 май 2011, 13:00

Equinoxe писал(а):Source of the post
Ian писал(а):Source of the post
Equinoxe писал(а):Source of the post
Найти значение выражения $\sqrt{1+C\sqrt{1+(C+1)\sqrt{1+(C+2)\dots}}}$

Ага, ответ верный. А доказывали через что?

У меня сначала встречные вопросики, ответ добровольный
1.Понимаете ли Вы эту тему
2.Доказано ли там, и если нет, то почему до этого не добрались
3.Как ее надо было вести, чтобы вышло понятно не только тем, кто и раньше это знал
Нефорумский формат у таких задач, скорей для матбоев каких-нибудь. Тогда хоть у кого-то будет стимул все разложить по полочкам. Ждем добровольца

Equinoxe · Сообщение **Equinoxe** » 31 май 2011, 16:58

Ian писал(а):Source of the post
Equinoxe писал(а):Source of the post
Ian писал(а):Source of the post
Equinoxe писал(а):Source of the post
Найти значение выражения $\sqrt{1+C\sqrt{1+(C+1)\sqrt{1+(C+2)\dots}}}$

Ага, ответ верный. А доказывали через что?
У меня сначала встречные вопросики, ответ добровольный
1.Понимаете ли Вы эту тему
2.Доказано ли там, и если нет, то почему до этого не добрались
3.Как ее надо было вести, чтобы вышло понятно не только тем, кто и раньше это знал
Нефорумский формат у таких задач, скорей для матбоев каких-нибудь. Тогда хоть у кого-то будет стимул все разложить по полочкам. Ждем добровольца

1. Ну, смотря что называть пониманием Если понимание задачи, то да, а в решения я не особо вдавалась
2. Похоже, я поняла, что Вы имеете в виду. В этой задаче можно доказать C+1, если это доказано хоть для одного C>=1, и довольно сомнительно, что сильное приближение можно назвать док-вом
Я права?
3. Ну, я сама раньше этого не знала, а предположение вышло из того, что посчитала программка. Товарищ age вообще утверждает, что есть общая формула, если 1 заменить на p, однако пока она у него неверная. Так что думаю, что формат хоть и нефорумный, но дойти до этого можно и несложно.
А для форума наверное надо было открыть отдельно тему для любителей подобного вида (вложенные корни) задачек

BSK · Сообщение **BSK** » 01 июн 2011, 04:11

Equinoxe писал(а):Source of the post Найти значение выражения $\sqrt{1+C\sqrt{1+(C+1)\sqrt{1+(C+2)\dots}}}$

$f_c=\sqrt{1+C\sqrt{1+(C+1)\sqrt{1+(C+2)\dots}}}$
Докажите, что существует предел $$f_c$$

(при увеличении количества знаков корня),
который удовлетворяет уравнению $f_c^2-1=cf_{c+1},$
которое имеет единственное решение $$f_c=1+c$$

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 01 июн 2011, 04:29

BSK писал(а):Source of the post
Докажите, что существует предел (при увеличении количества знаков корня),
который удовлетворяет уравнению $f_c^2-1=cf_{c+1},$
которое имеет единственное решение

Если предел существует и равен $$f$$

, то

и:
$f=\frac{c+\sqrt{c^2+4}}{2}$

BSK · Сообщение **BSK** » 01 июн 2011, 05:09

ALEX165 писал(а):Source of the post
BSK писал(а):Source of the post
Докажите, что существует предел (при увеличении количества знаков корня),
который удовлетворяет уравнению $f_c^2-1=cf_{c+1},$
которое имеет единственное решение

Если предел существует и равен , то и:
$f=\frac{c+\sqrt{c^2+4}}{2}$

Если предел $$f_c$$

существует (он разный при разных $$c$$

, что отмечено нижним индексом),
то он (они) удовлетворяют $f_c^2-1=cf_{c+1},$

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 01 июн 2011, 14:05

BSK писал(а):Source of the post
Если предел существует (он разный при разных , что отмечено нижним индексом),
то он (они) удовлетворяют $f_c^2-1=cf_{c+1},$

Да, предел $f=\frac{c+\sqrt{c^2+4}}{2}$ соответствует выражению:
$f=\sqrt{1+c\sqrt{1+c\sqrt{...}}}$

Equinoxe · Сообщение **Equinoxe** » 01 июн 2011, 18:27

ALEX165 писал(а):Source of the post
BSK писал(а):Source of the post
Если предел существует (он разный при разных , что отмечено нижним индексом),
то он (они) удовлетворяют $f_c^2-1=cf_{c+1},$

Да, предел $f=\frac{c+\sqrt{c^2+4}}{2}$ соответствует выражению:
$f=\sqrt{1+c\sqrt{1+c\sqrt{...}}}$

А я вот что заметила:
$\lim \limits_{C \to \infty} {C + 1 - C} = 2^0$
$\lim \limits_{C \to \infty} {C + 1 - \sqrt{C(C+1)}} = 2^{-1}$
$\lim \limits_{C \to \infty} {C + 1 - \sqrt{C\sqrt{(C+1)(C+2)}}} = 2^{-2}$
$\lim \limits_{C \to \infty} {C + 1 - \sqrt{C\sqrt{(C+1)\sqrt{(C+2)(C+3)}}}} = 2^{-3}$
И так далее. Как это доказать? Если это доказывается, то доказывается и исходное утв-ние
Во всяком случае, факт интересный

yourdomain.com