Macca-скаляр

mihailvolk · Сообщение **mihailvolk** » 18 апр 2011, 19:37

Откуда следует, что масса скалярна (Доказывается через тензоры и Ньютоновскую механику(второй закон)!!!)
Нашёл пример в Фейнмане (7том) но не смог разобраться(((
Помогите пожалуйста...

student_kiev

mihailvolk писал(а):Source of the post Откуда следует, что масса скалярна

по определению. Скалярное произведение двух (четырех)векторов --- скаляр. Квадрат массы определяется как квадрат четырех-вектора энергии-импульса $p^{\mu} = (E, p_x, p_y, p_z)$ . B пространстве Минковского $p^{\mu}p_{\mu} = E^2 - \mathbf{p}^2 \equiv m^2$ (upd: инвариантная величина отн. преобразований Лоренца)

mihailvolk · Сообщение **mihailvolk** » 18 апр 2011, 20:15

Про это я уже читал, но нужно вывести из классической механики, не используя силу Лоренца, CTO и т.д. Мы до этого ещё не дошли, и обязательно через тензоры...
B Фейнмане примером является импульс, выводимый через массу, поэтому я и не смог разобраться.
Есть ещё идеи?

student_kiev

A, в этом смысле. Ну тогда так. B тензорном виде 2-й закон Ньютона:
$\displaystyle m\frac{d^2 x_{\mu}}{dt^2}=F_{\mu}$
$dx_{\mu}$ --- вектор (тензор 1-го ранга), $$dt$$

--- инвариант, a, значит, и $\displaystyle \frac{1}{dt}$ --- инвариант. Отсюда $\displaystyle\frac{d x_{\mu}}{dt}$ --- вектор. Аналогично $\displaystyle\frac{d^2 x_{\mu}}{dt^2}$ --- вектор (короче говоря дифференцирование не меняет тензорных свойств).
Далее, $F_{\mu}$ --- вектор. Значит, чтобы удовлетворялся 2-й закон Ньютона, в следствие теоремы об умножении тензоров $$m$$

должен быть тензором 0-го ранга.

mihailvolk · Сообщение **mihailvolk** » 18 апр 2011, 20:59

A можешь, пожалуйста, подробно расписать, без "Аналогично". И почему F_u - вектор? Спасибо:)
И ещё откуда 2-й закон ньютона в тензорном виде?

homosapiens · Сообщение **homosapiens** » 19 апр 2011, 04:21

mihailvolk писал(а):Source of the post И почему Fu - вектор?

Потому что такая запись означает, что это вектор.

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 19 апр 2011, 04:25

mihailvolk писал(а):Source of the post
И почему F_u - вектор? Спасибо:)

Энергия - скаляр и если это потенциальная, то сила - её градиент, значит сила - вектор.

mihailvolk · Сообщение **mihailvolk** » 19 апр 2011, 05:14

И всё-таки, как получить 2-й закон ньютона в тензорном виде?

student_kiev

Любое выражение (уравнение) в векторных обозначениях можно переписать в тензорных обозначениях. Например
$\mathbf{a} \to a_i$
$\displaystyle \cos{\varphi} = \frac{\mathbf{a \cdot b}}{ab} \to \cos{\varphi} = \frac{a_i b_i}{ab}$
$\mathbf{a \times b} \to e_{\chi \lambda \mu}a_{\lambda} b_{\mu}$
$\displaystyle \mathbf{E} = -\frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} - \grad \varphi \to E_{\mu} = -\frac{1}{c}\frac{\partial A_{\mu}}{\partial t} - \frac{\partial \varphi}{\partial x_{\mu}}$
Соответствующие индексы при этом пробегают значения от одного до размерности пространства (в данном случае 3).

mihailvolk · Сообщение **mihailvolk** » 19 апр 2011, 18:10

И, наконец, последнее, что меня интересует:

"в следствие теоремы об умножении тензоров m должен быть тензором 0-го ранга"

He понял почему следует, как теорему написать?

yourdomain.com