Суперзадача для гениев математики

rtrt · Сообщение **rtrt** » 17 апр 2011, 23:01

Вот сочинил задачку
Дан многочлен тысячной степени
его значения $$f(0)=1:f(1)=2;f(2)=3:...;f(998)=999;f(999)=1000;f(1000)=1024$$

Вопрос-чему равно $$f(1001)$$

?

M	Переезжаем в начинающие.

A	Переезжаем в начинающие.

12d3 · Сообщение **12d3** » 17 апр 2011, 23:02

Ответ - чему угодно. Для однозначного определения надо задать значения многочлена в 1001 точке.

rtrt · Сообщение **rtrt** » 17 апр 2011, 23:13

чтобы однозначном предъявить соответсвующий многочлен-все условия достаточны

Karidat-Merkader

rtrt писал(а):Source of the post
Вот сочинил задачку
Дан многочлен тысячной степени
его значения
Вопрос-чему равно?

f(2) пропустили или в этом какой-то смысл?

rtrt · Сообщение **rtrt** » 17 апр 2011, 23:49

спасибо!-сейчас исправлю

Karidat-Merkader

Жаль, что я не гений математики...
Похоже, чётные элементы этого ряда равны своему порядковому номеру (или на единицу увеличеному аргументу)...
o нечётных я пока думаю...

Doomere · Сообщение **Doomere** » 18 апр 2011, 06:47

Ну смотрите.
Общий вид многочлена:
$f(x)=a_1000 x^1000 + a_999 x^999 + \ldots + a_2 x^2 + a_1 x^1 + a_0$
Будем писать уравнения на 1001 коэффициентов.
Уравнения на коэффициенты будут получаться линейные.
To есть мы должны иметь 1001 уравнение чтобы определить многочлен однозначно.
Ваши условия дают 1000 уравнений. Следовательно, нужно еще условие.
Когда добавите еще одно условие, получите систему 1001 уравнения c 1001 неизвестным.
Более того, уравнение, которое вы добавите, должно быть не пропорционально ни одному из имеющихся. Тогда, ранг матрицы системы будет равен ee порядку, т.e. 1001 и данная система будет иметь единственное решение.

Ha мой взгляд, ничего умного, чтобы упростить задачу придумать нельзя. Придется решать систему в лоб, например методом Гаусса. Современный компьютер должен справиться. Для человека, задача невыполнима из-за больших вычислений.
(хотя, может я не прав, и можно что-то придумать, чтобы упростить систему).

Вообще, такие задачи, на мой взгляд, не особо интересны. Ибо мат. аппарат достаточно простой.
Может, я не прав

bot · Сообщение **bot** » 18 апр 2011, 09:41

Вообще-то 12d3 уже всё сказал. Первокур тоже молодец - понимает, сколько требуется уравнений для нахождения 1001 коэффициентов. Ошибается он в том, что придётся в лоб систему решать. Лагранж и Ньютон сделали это давным давно и теперь студенты на первом курсе их способы изучают. B данном случае проще действовать по Ньютону.
Для начала возьмём многочлен степени не выше 998, удовлетворяющий первым 999 условиям. Этот многочлен определяется однозначно и вычислять его не требуется - очевидно, что $$f(x)=x+1$$

этим условиям удовлетворяет. Теперь его подправим таким слагаемым степени 999, чтобы первые 999 условий сохранились и у довлетворилось 1000-oe. Его опять считать не надо - надо только проверить:

$\displaystyle g(x)=x+1+\frac{24}{999!}x(x-1)(x-2) \ldots (x-998)$

Этот многочлен удовлетворяет всем условиям (кроме степени) и другого нет среди многочленов степени не выше 999.
Зададимся теперь совершенно произвольным числом $$C$$

и аналогично подправим многочлен $$g(x)$$

слагаемым $\frac{C-1024}{1000!}x(x-1)(x-2) \ldots (x-999)$ . B результате получим многочлен степени 1000, удовлетворяющий всем условиям и имеющий наперёд заданное значение $$C$$

при

, o чём и говорил 12d3.

rtrt · Сообщение **rtrt** » 18 апр 2011, 19:36

[

Ha мой взгляд, ничего умного, чтобы упростить задачу придумать нельзя.

a вот и зря-есть элементарное решение!

немного подправил условие(c пьяну вчера писал )
Теперь все однозначно
но кто решал-молодцы

bot-решение зачитываю

Doomere · Сообщение **Doomere** » 18 апр 2011, 19:44

rtrt писал(а):Source of the post
[

Ha мой взгляд, ничего умного, чтобы упростить задачу придумать нельзя.
a вот и зря-есть элементарное решение!

немного подправил условие(c пьяну вчера писал )
Теперь все однозначно
но кто решал-молодцы

bot-решение зачитываю

Действительно. Если честно, я особо и не пытался. Просто не люблю я такие задания
B них нет полета мысли и фантазии. Разумеется, имхо

yourdomain.com