Олимпиада по математики

Александр Малошенко

Задания по олимпиаде предлагаются ниже в виде изображения:
заранее скажу, что группа " Б" означает не математический профиль
смог решить 4 задания, одно из них в поезде на обратном пути, в целом ужасно не доволен, т.к. мог его решать там ещё...
выложил для тех кому это интересно, a также поинтересоваться как решать №3, №5..
и как сделать в №9 формулу, используя факториалы, не сумел...

YURI · Сообщение **YURI** » 17 апр 2011, 14:51

Поместил в спойлер картинку.

Ludina · Сообщение **Ludina** » 17 апр 2011, 15:27

Задача 3.
Пусть расстояние между берегами l, скорость течения, лодки и прохождения по берегу v. Разложим скорость лодки на $$v_1$$

- скорость, перпендикулярная течению, $$ v_2$$

- параллельная. Время, за которое лодка доберется до противоположного берега $\frac{l}{v_1}$ , но за это время лодку отнесет на расстояние $(v-v_2)\frac{l}{v_1}$ . Таким образом затраченное время равно $t=\frac{l}{v_1}+(v-v_2)\frac{l}{v_1*v}$ . Осталось подставить сюда $v_2=\sqrt{v^2-{v_1}^2}$ и найти при каком $$v_1$$

достигается минимум функции.

vvvv · Сообщение **vvvv** » 17 апр 2011, 15:49

Ludina писал(а):Source of the post
Задача 3.
Пусть расстояние между берегами l, скорость течения, лодки и прохождения по берегу v. Разложим скорость лодки на - скорость, перпендикулярная течению, - параллельная. Время, за которое лодка доберется до противоположного берега $\frac{l}{v_1}$ , но за это время лодку отнесет на расстояние $(v-v_2)\frac{l}{v_1}$ . Таким образом затраченное время равно $t=\frac{l}{v_1}+(v-v_2)\frac{l}{v_1*v}$ . Осталось подставить сюда $v_2=\sqrt{v^2-{v_1}^2}$ и найти при каком достигается минимум функции.

B задаче требуется определить маршрут, a не скорость.Совершенно очевидно, что нужно подняться вверх по берегу реки на расстояние равное ширине реки, a оттуда по прямой попадем в пунк B. T.e. будем двигаться по стороне и диагонали квадрата.

da67 · Сообщение **da67** » 17 апр 2011, 16:17

vvvv писал(а):Source of the post Совершенно очевидно....

Неочевидно.
Например, полширины реки по берегу вверх по течению, a затем под углом 60 градусов к берегу против течения будет быстрее.

Ludina · Сообщение **Ludina** » 17 апр 2011, 16:24

B задаче требуется определить маршрут, a не скорость.

Отношение $\frac{v_1}{v}$ есть синус угла между направлением движения лодки и берегом.

JeffLebovski

Задача 9: Посмотрите на разложение $(1+x^2)^{\alpha}$ . При каком $\alpha$ , оно похоже на ваше?

Александр Малошенко

Ludina писал(а):Source of the post
Задача 3..

спасибо буду думать

JeffLebovski писал(а):Source of the post
Задача 9: Посмотрите на разложение $(1+x)^{\alpha}$ . При каком $\alpha$ , оно похоже на ваше?

если
$\alpha=2\ 1+2x^2+x^4\\ \alpha=3\ 1+3x^2+3x^4+x^6\\ \alpha=4\ 1+4x^2+6x^4+4x^6+x^8\\ \alpha=5\ 1+5x^2+10x^4+10x^6+5x^8+x^{10}\\ \alpha=6\ 1+6x^2+15x^4+20x^6+15x^8+6x^{10}+x^{12}\\$
блин, не улавливаю что то закономерности к моему ряду

JeffLebovski

A чем $-\frac12$ не нравится? И опечатался, надо $(1-x^2)^{\alpha}$ , ато знакопеременный получается....

vvvv · Сообщение **vvvv** » 17 апр 2011, 16:45

da67 писал(а):Source of the post
vvvv писал(а):Source of the post Совершенно очевидно....
Неочевидно.
Например, полширины реки по берегу вверх по течению, a затем под углом 60 градусов к берегу против течения будет быстрее.

Так Вы не попадете в п.B - окажитесь ниже по течению.

yourdomain.com