Вычисление двойного интеграла + полярные координаты

Herr_Oberst · Сообщение **Herr_Oberst** » 14 фев 2011, 09:38

Имеется задачка (из рябушки часть 3 идз 13.1-5.28). Зашел в тупик - не прошу решить за меня, просто подмогите...

Задание
C помощью двойных интегралов вычислить в полярных координатах площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями:

$r^2=a^2cos3\varphi$

Мои действия
1) Упростил выражение:

$r^2=a^2cos3\varphi$

$r=a\sqrt{cos3\varphi}$

2) Попробовал схематически это дело нарисовать (Пусть a=9), получилось нечто такое

Однако линии то не сходятся, и стало быть фигура также не будет ограничиваться укзанными линиями, так как тогда найти площадь??

Fff · Сообщение **Fff** » 14 фев 2011, 10:39

A к чему нужен двойной интеграл? Площадь и через один неплохо вычисляется.

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 14 фев 2011, 10:44

Можно определить площадь половины лепестка, a потом умножить на 6

$6\int_{0}^{\Pi/6}dt}\int_{r=0}^{a\sqrt{cos(3t)}}{rdr}$

mihailm · Сообщение **mihailm** » 14 фев 2011, 12:18

Fff писал(а):Source of the post
A к чему нужен двойной интеграл? Площадь и через один неплохо вычисляется.

Вычисляется, но требуется вычислить через двойной, учебная задача понимаете?

Начало такое
$\iint_{D} 1 dx dy=$

далее пишем полярную замену

Fff · Сообщение **Fff** » 14 фев 2011, 12:40

mihailm писал(а):Source of the post
Fff писал(а):Source of the post
A к чему нужен двойной интеграл? Площадь и через один неплохо вычисляется.

Вычисляется, но требуется вычислить через двойной, учебная задача понимаете?

Начало такое
$\iint_{D} 1 dx dy=$

далее пишем полярную замену

И вы получаете объем, a не площадь плоской фигуры. Что вы там собрались решать полярной заменой? Уравнение итак задано в полярных координатах. Более того, квадрат радиуса вычисляется через косинус, который может принимать отрицательные значения. Мне интересно как автор смог такой график нарисовать.

bas0514 · Сообщение **bas0514** » 14 фев 2011, 12:50

Fff писал(а):Source of the post
И вы получаете объем, a не площадь плоской фигуры.

Площадь. Интеграл от элемента площади. Подынтегральная функция формально - тождественная единица.

Fff писал(а):Source of the post
Более того, квадрат радиуса вычисляется через косинус, который может принимать отрицательные значения.

Просто точки фигуры соответствуют только тем значениям $\varphi$ , при которых этот косинус неотрицателен. Bce правильно.

Fff · Сообщение **Fff** » 14 фев 2011, 13:04

bas0514 писал(а):Source of the post
Fff писал(а):Source of the post
И вы получаете объем, a не площадь плоской фигуры.

Площадь. Интеграл от элемента площади. Подынтегральная функция формально - тождественная единица.
Fff писал(а):Source of the post
Более того, квадрат радиуса вычисляется через косинус, который может принимать отрицательные значения.

Просто точки фигуры соответствуют только тем значениям $\varphi$ , при которых этот косинус неотрицателен. Bce правильно.

Если косинус считается не отрицательным, то и любая координата x = r*cos(x) считается не отрицательной. И график должен быть правее оси Y. Поскольку она всегда будет положительной.

bas0514 · Сообщение **bas0514** » 14 фев 2011, 13:05

Fff писал(а):Source of the post
Если косинус считается не отрицательным, то и любая координата x = r*cos(x) считается не отрицательной. И график должен быть правее оси Y. Поскольку она всегда будет положительной.

Там косинус не $\varphi$ , a $3\varphi$ .

Fff · Сообщение **Fff** » 14 фев 2011, 13:10

bas0514 писал(а):Source of the post
Fff писал(а):Source of the post
Если косинус считается не отрицательным, то и любая координата x = r*cos(x) считается не отрицательной. И график должен быть правее оси Y. Поскольку она всегда будет положительной.

Там косинус не $\varphi$ , a $3\varphi$ .

Какая разница? Косинус может быть отрицательным и при трех фи.

bas0514 · Сообщение **bas0514** » 14 фев 2011, 13:12

Fff писал(а):Source of the post
Косинус может быть отрицательным и при трех фи.

Может, но допустимые значения $\varphi$ будут уже другие.

yourdomain.com