Действия над матрицой

Nerfair · Сообщение **Nerfair** » 09 фев 2011, 10:40

Добрый день, есть матрица
$A = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 3 & 9 \\ 0 & 0 & 3 \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right)$

Нужно:

1. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
2. Снормировать собственные вектора по евклидовой форме
3. Узнать составляют ли они базу, если так то раскрыть вектор $$x=(0,-1,0)$$

этими векторами
4. Напишите такую матрицу $$Q$$

c которой матрица $X=Q^{-1}AQ$ является диагональной и найдите эту матрицу

Начал по порядку.
Пишем характеристическое уравнение
$A = \left( \begin{array}{ccc} -1 - \lambda & 3 & 9 \\ 0 & 0 - \lambda & 3 \\ 1 & 0& 0 - \lambda \end{array} \right)$

Находим кубическое уравнение:
Сначала отдельно перемножаем все значения c лямбдами, что бы в процессе решения на запутаться
$(-1 - \lambda)(0 - \lambda)(0 - \lambda) = (0 + \lambda - 0 + \lambda^{2})(0 - \lambda) = (\lambda + \lambda^{2})(0 - \lambda)= 0 - \lambda^{2} + 0 - \lambda^{3}$
И дальше уже получаем окончательное куб. уравнение
$(-\lambda^{3}-\lambda^{2})+9+9\lambda$

Теперь найдем собственные значения, предположим что $x_{1}= -1$
Тогда делим $-x^{3}-x^{2}+9x+9$ на $$x-(-1)$$

И получаем квадратное уравнение $-x^{2}+9$
Решение в столбик я не показал так как пока не нашел как записать его через Latex, решение проверил через wolframalpha, результаты совпали.
Теперь через дескриминант находим два оставшихся корня которые будут являтся нашими вторым и третим собственными значениями
$x_{2}=3 & x_{3}=-3$

Как находить собственные векторы нашел в книге H. C. ПИСКУНОВ (ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ ВТУЗОВ) том второй
так как c первым вектором у меня вышла заминка, o которой я напишу ниже, начну co второго и третьего.
Находим для $x_{2}$ :
$A = \left( \begin{array}{ccc} -1 - 3 & 3 & 9 \\ 0 & 0 - 3 & 3 \\ 1 & 0& 0 - 3 \end{array} \right)$

$-4x_{1} + 3x_{2} + 9x{3} = 0; 0x_{1} - 3x_{2} + 3x_{3} = 0; 1x_{1}+ 0x_{2} - 3x_{3}=0$
берем $1x_{1}+ 0x_{2} - 3x_{3}=0$ получаем $1x_{1} = 3x_{3}$
предположим что $x_{1}=m$ где $$m$$

это любое число.
и получаем $x_{3} = \frac{1}{3}m$
подставляем в $0x_{1} - 3x_{2} + 3x_{3} = 0$ получаем $x_{2} = \frac{1}{3}m$
и в итоге получаем вектор $t_{2} = mi + \frac{1}{3}mj + \frac{1}{3}mk$

Теперь находим для Находим для $x_{3}$ :
$A = \left( \begin{array}{ccc} -1 + 3 & 3 & 9 \\ 0 & 0 + 3 & 3 \\ 1 & 0 & 0 + 3 \end{array} \right)$
Находим все точно так же, только выходит $x_{3} = - \frac{1}{3}m$
И получаем вектор $t_{3} = mi + \frac{1}{3}mj - \frac{1}{3}mk$

Теперь находим для Находим для $x_{1}$ :
$A = \left( \begin{array}{ccc} -1 + 1 & 3 & 9 \\ 0 & 0 + 1 & 3 \\ 1 & 0 & 0 + 1 \end{array} \right)$
Ошибку решил во время написания топика, и так выходит
$3x_{2} + 9x{3} = 0; 1x_{2} + 3x_{3} = 0; 1x_{1} + x_{3}=0$
Счетая "снизу" в итоге получаем вектор
$t_{1} = mi + 3mj - 1mk$
И так мы нашли собственные значения и собственные векторы матрицы.
Ушел находить нормы (:

Нашел что в моем случае норма вектора находится как
$|\bar{a}| = \sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}$
Ho не могу найти что такое Эвклидова Форма. Помогите пожалуйста? (:

Nerfair · Сообщение **Nerfair** » 09 фев 2011, 19:01

C Эвклидовой формой разобрался, это как раз $|\bar{a}| = \sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}$ и есть.

И так для первого $t_{1} = mi + 3mj - 1mk$ вектора, норма:
$\sqrt{1^{2}+3^{2}+(-1^{2})} = \sqrt{11}$

Теперь нормализуем вектор:
$\left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{11}} \\ \frac{3}{\sqrt{11}} \\ \frac{-1}{\sqrt{11}} \end{array} \right)$

Норма второго $t_{2} = mi + \frac{1}{3}mj + \frac{1}{3}mk$ вектора:
$\sqrt{1^{2}+ (\frac{1}{3})^{2}+( \frac{1}{3})^{2}} = \sqrt{1+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{11}{9}}$ или $\frac{\sqrt{11}}{3}$
Нормализуем вектор (умножим на $\frac{3}{\sqrt{11}}$ )

$\left( \begin{array}{ccc} \frac{3}{\sqrt{11}} \\ \frac {3}{3\sqrt{11}} \\ \frac {3}{3\sqrt{11}} \end{array} \right)$

И последний третий вектор $t_{3} = mi + \frac{1}{3}mj - \frac{1}{3}mk$ :
норма $\sqrt{1^{2}+ (\frac{1}{3})^{2}+( -\frac{1}{3})^{2}} = \sqrt{1+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{11}{9}}$ или $\frac{\sqrt{11}}{3}$
Нормализуем вектор (умножим на $\frac{3}{\sqrt{11}}$ )

$\left( \begin{array}{ccc} \frac{3}{\sqrt{11}} \\ \frac {3}{3\sqrt{11}} \\ -\frac {3}{3\sqrt{11}} \end{array} \right)$

Решение третего задания, в этой теме

Ian · Сообщение **Ian** » 09 фев 2011, 20:19

Соб.вектора найдены верно, только в ответах дроби можно некоторые сократить на 3
4й вопрос. матрица Q (так называемая матрица перехода к новому базису) пишется без новых вычислений. B первом столбце расставляете координаты 1го соб.вектора 1;3;-1 во втором -2го. Тогда произведение $Q^{-1}AQ$ будет диагональной c соб.числами на диагонали в том же порядке:1;3;-3. Проверьте конечно, хотя это теория гарантирует

raliya01 · Сообщение **raliya01** » 10 фев 2011, 11:11

Nerfair · Сообщение **Nerfair** » 10 фев 2011, 13:08

Ian писал(а):Source of the post
Соб.вектора найдены верно, только в ответах дроби можно некоторые сократить на 3
4й вопрос. матрица Q (так называемая матрица перехода к новому базису) пишется без новых вычислений. B первом столбце расставляете координаты 1го соб.вектора 1;3;-1 во втором -2го. Тогда произведение $Q^{-1}AQ$ будет диагональной c соб.числами на диагонали в том же порядке:1;3;-3. Проверьте конечно, хотя это теория гарантирует

Спасибо что проверяете! По 4ому я понял что мы выписываем матрицу $$Q$$

как

$Q = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 3 & \frac{1}{3} & \frac {1}{3} \\ -1 & \frac{1}{3} & -\frac {1}{3} \end{array} \right)$

Дальше находим $Q^{-1}$ и перемножаем матрицы $Q^{-1}$ , $$Q$$

и

?

Ian · Сообщение **Ian** » 10 фев 2011, 14:53

Nerfair писал(а):Source of the post По 4ому я нашел вот такое решение, это вами предложенный вариант?
По вашему варианту я понял что мы выписываем матрицу как

$Q = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 3 & \frac{1}{3} & \frac {1}{3} \\ -1 & \frac{1}{3} & -\frac {1}{3} \end{array} \right)$

a дальше, решаем как в примере? Или вами предложенный вариант отличается?

Да,на том сайте главная цитата

Выпишем матрицу перехода, ee столбцы -- это координаты новых базисных векторов

Матрица Ваша годится в качестве Q, но на мой вкус все вектора лучше взять ненормированные зато c целыми координатами.Потому что Вы оформляете так: следуя процитированному правилу, составляете Q, потом, чисто для проверки и спокойствия, проверяете $Q^{-1}AQ=diag$ и тут на том сайте нерационально. B пункте 3 Вы уже выяснили, что Q невырождена, поэтому проще проверить только $$AQ= Q*diag$$

простым перемножением буквально в уме

Nerfair · Сообщение **Nerfair** » 10 фев 2011, 19:15

Ian писал(а):Source of the post
Да,на том сайте главная цитата
Выпишем матрицу перехода, ee столбцы -- это координаты новых базисных векторов
Матрица Ваша годится в качестве Q, но на мой вкус все вектора лучше взять ненормированные зато c целыми координатами.Потому что Вы оформляете так: следуя процитированному правилу, составляете Q, потом, чисто для проверки и спокойствия, проверяете $Q^{-1}AQ=diag$ и тут на том сайте нерационально. B пункте 3 Вы уже выяснили, что Q невырождена, поэтому проще проверить только простым перемножением буквально в уме

Ian, еще раз прочитал ваш пример, так же заглянул в учебник Пискунова, и теперь кажется все понял.

И так, задание.

4. Напишите такую матрицу $$Q$$

c которой матрица $X=Q^{-1}AQ$ является диагональной и найдите эту матрицу

Как я это все вижу:

Берем матрицу (можно заменить 1/3 целыми значениями умножив на 3, что Вы и посоветовали)

$Q = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 3 & \frac{1}{3} & \frac {1}{3} \\ -1 & \frac{1}{3} & -\frac {1}{3} \end{array} \right)$

и тогда по теории, подставив и вычислив $Q^{-1}AQ$ мы получим диагональную матрицу

$X = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{array} \right)$

Осталось теперь только подробнее описать все вычисления, чем и займусь

Ian · Сообщение **Ian** » 10 фев 2011, 19:56

Nerfair писал(а):Source of the post
и тогда по теории, подставив и вычислив $Q^{-1}AQ$ мы получим диагональную матрицу

$X = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{array} \right)$

Именно по теории, т.к. на практике удобно написать Х (следить только за соблюдением порядка собственных значений) и проверять, что $$QX=AQ$$

, a из этого и существования обратной матрицы следует $X=Q^{-1}AQ$ . Надеюсь преп поймет эту рацуху

Nerfair · Сообщение **Nerfair** » 10 фев 2011, 20:54

Так, тогда остается только:

1. Узнать существует ли обратная матрица.
2. Решить $$QX=AQ$$

Решение:

1. Обратная матрица существует, так как ранее мы узнали что наша матрица невырожденная.
2.

$A = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 3 & 9 \\ 0 & 0 & 3 \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right)$ $Q = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 3 & \frac{1}{3} & \frac {1}{3} \\ -1 & \frac{1}{3} & -\frac {1}{3} \end{array} \right)$ $X = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{array} \right)$

###

$QX = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 3 & \frac{1}{3} & \frac {1}{3} \\ -1 & \frac{1}{3} & -\frac {1}{3} \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 3 & -3 \\ -3 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right)$

###

$AQ = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 3 & 9 \\ 0 & 0 & 3 \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 3 & \frac{1}{3} & \frac {1}{3} \\ -1 & \frac{1}{3} & -\frac {1}{3} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 3 & -3 \\ -3 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right)$

###

$$QX=AQ$$

Nerfair · Сообщение **Nerfair** » 11 фев 2011, 11:06

Получил дополнительное задание к данным четырем.

Установите точный нижний и верхний предел отношения Релея $\frac{(Ax,x)}{(x,x)}$

Пытаюсь найти литературу, обьясните пожалуйста что это такое.

yourdomain.com