Теорема Виета

venja · Сообщение **venja** » 31 янв 2011, 14:10

СергейП писал(а):Source of the post

$\displaystyle x^{n+1}_1+x^{n+1}_2=(x_1+x_2)(x^{n}_1+x^{n}_2)- x_1 \cdot x_2 (x^{n-1}_1 + x^{n-1}_2)=$

Замечательно! He знал такого. A так просто и красиво!
A ведь задача типическая - выразить сумму степеней корней. Постараюсь запомнить.
Спасибо!

Katron · Сообщение **Katron** » 31 янв 2011, 16:10

Таланов писал(а):Source of the post

Большое спасибо! Минут 10 разбиралась и поняла! Очень вам благодарна!

СергейП писал(а):Source of the post
Вообще-то, задача уже решена Ian-ом, причем очень просто
$x_1+x_2=-\frac 32$
$x_1 \cdot x_2=-\frac 72$

$\displaystyle x^{n+1}_1+x^{n+1}_2=(x_1+x_2)(x^{n}_1+x^{n}_2)- x_1 \cdot x_2 (x^{n-1}_1 + x^{n-1}_2)=$
$\displaystyle = \frac 72 (x^{n-1}_1 + x^{n-1}_2) - \frac 32 (x^{n}_1+x^{n}_2)$

Вводим обозначения $\displaystyle f_k=x^k_1+x^k_2$ и получаем реккурентную формулу.
По ней все степени легко считаются.

Зачем считать сложно частный случай?

Это решение мне далось сложнее. пока еще доконца не разобралась..

Получается 2 пример тоже выводить формулами, как это сделал talanov ?

Ian · Сообщение **Ian** » 31 янв 2011, 18:05

Katron писал(а):Source of the post
2)

$$x=x_1 èëè x_2 $$</span> <span class=

$$" title="$$ $$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">x^5=x*x^2*x^2=x(\frac 72-\frac 32x)^2=\\=\frac 94x^3-\frac{21}2x^2+\frac{49}4x=\frac 94x(\frac 72-\frac 32x)-\frac{21}2x^2+\frac{49}4x=\\=-\frac{57}8x^2+\frac{161}8x=-\frac{57}8(\frac 72-\frac 32x)+\frac{161}8x=\\=-\frac{399}{16}+\frac{493}{16}x$$
поэтому $x^5_1+x^5_2=-\frac{399}{16}+\frac{493}{16}(x_1+x_2)=-\frac{399}{16}-\frac{493}{16}\frac 32$ ответ, проверять надо

Katron · Сообщение **Katron** » 08 фев 2011, 15:51

Ian писал(а):Source of the post
Katron писал(а):Source of the post
2)
$$x=x_1 èëè x_2$$" title="$$ $$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">x^5=x*x^2*x^2=x(\frac 72-\frac 32x)^2=\\=\frac 94x^3-\frac{21}2x^2+\frac{49}4x=\frac 94x(\frac 72-\frac 32x)-\frac{21}2x^2+\frac{49}4x=\\=-\frac{57}8x^2+\frac{161}8x=-\frac{57}8(\frac 72-\frac 32x)+\frac{161}8x=\\=-\frac{399}{16}+\frac{493}{16}x$$
поэтому $x^5_1+x^5_2=-\frac{399}{16}+\frac{493}{16}(x_1+x_2)=-\frac{399}{16}-\frac{493}{16}\frac 32$ ответ, проверять надо

спасибо, я решила это сама и мой ответ совпал c вашим. спасибо)

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 09 фев 2011, 11:13

Катрин!
Скажите, пожалуйста, где Вы учитесь? Где Вы встретили Вашу задачу? Проходили Вы реккурентные соотношения и имеете ли Вы право использовать их при решении?

raliya01 · Сообщение **raliya01** » 10 фев 2011, 11:01

talanov+

da67 · Сообщение **da67** » 10 фев 2011, 17:02

venja писал(а):Source of the post
Ian писал(а):Source of the post $f_{n+1}:=\frac 12(7f_{n-1}-3f_n),n>1$ ,
?

Ian писал(а):Source of the post
venja писал(а):Source of the post ?
по индукции!

A зачем так сложно? Для каждого корня $$2x^2+3x-7=0$$

, домножить на $x^{n-1}$ и сложить.

Katron · Сообщение **Katron** » 10 фев 2011, 18:42

vicvolf писал(а):Source of the post
Катрин!
Скажите, пожалуйста, где Вы учитесь? Где Вы встретили Вашу задачу? Проходили Вы реккурентные соотношения и имеете ли Вы право использовать их при решении?

Учусь я в школе. Задачу мне предложили решить. Нет, реккурентные соотношения не проходила, и по-этому сомневаюсь, что будет ли уместным мне использовать их. Так как я в них не разбираюсь.

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 10 фев 2011, 19:02

da67 писал(а):Source of the post
A зачем так сложно? Для каждого корня , домножить на $x^{n-1}$ и сложить.

Требуется определить, не решая уравнение

Katron писал(а):Source of the post
Учусь я в школе. Задачу мне предложили решить. Нет, реккурентные соотношения не проходила, и по-этому сомневаюсь, что будет ли уместным мне использовать их. Так как я в них не разбираюсь.

Попробуйте доказать по индукции:
$\displaystyle x^{n+1}_1+x^{n+1}_2=(x_1+x_2)(x^{n}_1+x^{n}_2)- x_1 \cdot x_2 (x^{n-1}_1 + x^{n-1}_2)=$
Сначала докажите используя формулы Виета для n=2, затем предположите правильность формулы для n=k и исходя из этого докажите, используя формулы Виета для n=k+1.

Katron · Сообщение **Katron** » 10 фев 2011, 19:25

A не могли бы вы написать поподробнее?

yourdomain.com