Теорема Виета

Katron · Сообщение **Katron** » 30 янв 2011, 15:26

Вот задание:
HE РЕШАЯ уравнение $$2x^2+3x-7=0$$

, найдите значения следующих выражений, где $$x_1$$

и

- корни этого уравнения.

1) $$x^4_1+x^4_2$$

2)

3)

, $n\in N$

Подскажите пожалуйста по каким формулам решать?

Ian · Сообщение **Ian** » 30 янв 2011, 16:28

Katron писал(а):Source of the post
Вот задание:
HE РЕШАЯ уравнение , найдите значения следующих выражений, где и - корни этого уравнения.

3) , $n\in N$

Компактной формулы"не решая уравнение" не существует.
Наиболее быстрый способ расчета: положим
$\\f_0=x_1^0+x_2^0=2\\f_1=x_1+x_2=-\frac 32\\f_{n+1}:=\frac 12(7f_{n-1}-3f_n),n>1$ ,
тогда $$f_n=x^n_1+x^n_2$$

например $f_2=\frac {37}4$ , и т.д

venja · Сообщение **venja** » 30 янв 2011, 18:51

Ian писал(а):Source of the post

$f_{n+1}:=\frac 12(7f_{n-1}-3f_n),n>1$ ,

?

Ian · Сообщение **Ian** » 30 янв 2011, 20:09

venja писал(а):Source of the post ?

по индукции!

Таланов

Katron писал(а):Source of the post
HE РЕШАЯ уравнение , найдите значения следующих выражений, где и - корни этого уравнения.
1)

СергейП

Вообще-то, задача уже решена Ian-ом, причем очень просто
$x_1+x_2=-\frac 32$
$x_1 \cdot x_2=-\frac 72$

$\displaystyle x^{n+1}_1+x^{n+1}_2=(x_1+x_2)(x^{n}_1+x^{n}_2)- x_1 \cdot x_2 (x^{n-1}_1 + x^{n-1}_2)=$
$\displaystyle = \frac 72 (x^{n-1}_1 + x^{n-1}_2) - \frac 32 (x^{n}_1+x^{n}_2)$

Вводим обозначения $\displaystyle f_k=x^k_1+x^k_2$ и получаем реккурентную формулу.
По ней все степени легко считаются.

Зачем считать сложно частный случай?

Таланов

СергейП писал(а):Source of the post
Зачем считать сложно частный случай?

B задании было посчитать, убедиться что это сложно и предложить реккурентную формулу.

Ian · Сообщение **Ian** » 31 янв 2011, 07:07

Признаюсь, еще осенью, чтобы выразить $$x^5+y^5+z^5$$

через стандартные симметрические многочлены, 2 часа вытворял что-то бессистемное. A теперь сходу:
$t^3-pt^2+qt-r|_{t=x,y,z}=0\\f_0=3\\f_1=p\\f_2=p^2-2q\\f_3=pf_2-qf_1+rf_0=p^3-3qp+3r\\f_4=pf_3-qf_2+rf_1=p^4-4qp^2+4rp+2q^2\\f_5=pf_4-qf_3+rf_2=p^5-5p^3q+5pq^2+5p^2r-5qr$

myn · Сообщение **myn** » 31 янв 2011, 07:45

A поделитесь, расскажите, как это у Bac так "сходу" получается...

Вот СергейП объяснил ваше решение - стало понятно... (до этого, признаюсь честно, как и venja, не поняла..

)

a как Вы так сразу приходите к рекурсии? Или не сразу? Тут ещё и кубическое...

Ian · Сообщение **Ian** » 31 янв 2011, 08:34

myn писал(а):Source of the post
A поделитесь, расскажите, как это у Bac так "сходу" получается...

Вот СергейП объяснил ваше решение - стало понятно... (до этого, признаюсь честно, как и venja, не поняла..)

a как Вы так сразу приходите к рекурсии? Или не сразу? Тут ещё и кубическое...

Есть метод решения линейных рекуррентных соотношений m-го порядка в виде $$f_n=C_1x_1^n+...+C_nx_m^n$$

, где

различные корни характеристического уравнения m-й степени, a $$C_1,...C_n$$

находятся по n первым членам. Обратно, для требуемой последовательности( $$f_n=x_1^n+x_2^n$$

,в более сложном примере $$f_n=x^n+y^n+z^n$$

) есть линейное рекуррентное соотношение, и каждый член получается "сходу" как в общем виде, так и в числах подстановкой в следующую строчку уже посчитанных предыдущих

Может, кому-то покажется проще во втором примере считать не $$f_2$$

,a $f_{-1}=\frac qr$

yourdomain.com