Ряд Маклорена

daranton · Сообщение **daranton** » 13 янв 2011, 23:18

Здравствуйте!

Наткнулся на то же, что не могу решить.

Кто-нибудь может помочь мне в этом?

Сдача уже скоро, через два дня.

Спасибо

$ $f(x)=e^{x^3-2}$

Разложить функцию в ряд Маклорена и найти область сходимости ряда?

Я так понимаю, что ряд Маклорена - частный случай ряда Тейлора, то есть ${x_0}={0}$

Как доказывать, что ряд сходится или расходится, помогите мне пожалуйста составить этот ряд для начала, ничего не получается.

СергейП

Используем известное разложение экспоненты в ряд Маклорена:

$e^t = 1+t+ \frac {t^2}{2!}+ \frac {t^3}{3!}+ \frac {t^4}{4!}+ \ldots$

Положим $$t=x^3$$

и получаем $f(x)=e^{x^3-2}=e^{-2}e^{x^3}= \ldots$

daranton · Сообщение **daranton** » 14 янв 2011, 11:55

СергейП

Это ещё понятно, то есть нужно сначала подставить вместо $${x}$$

подставить ${e^{x^3}}$ , a потом ${e^{-2}}$ ?

mat-maniak · Сообщение **mat-maniak** » 14 янв 2011, 12:10

daranton писал(а):Source of the post
СергейП

Это ещё понятно, то есть нужно сначала подставить вместо подставить ${e^{x^3}}$ , a потом ${e^{-2}}$ ?

${e^{-2}}$ просто константа. Её раскладывать не надо.
[url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=Series%5bExp%5bx^3-3%5d,{x,0,10}%5d]Вот ответ[/url]

daranton · Сообщение **daranton** » 14 янв 2011, 12:17

mat-maniak

To есть ${x_0}=0$ - центр разложения

daranton · Сообщение **daranton** » 14 янв 2011, 12:22

mat-maniak
имеем ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^{3n}}{e^2n!}$ , общий член ряда задаётся формулой $\frac{x^{3n}}{e^2n!}$ . находим $$n+1$$

- й член ряда:
$a_{n+1}=\frac{x^{3(n+1)}}{e^2(n+1)!}=\frac{x^{3n+3}}{e^2(n+1)!}$
находим отношение
$|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=|\frac{x^{3n+3}}{e^2(n+1)!}:\frac{x^{3n}}{e^2n!}|=|\frac{x^{3n+3}e^2n!}{x^{3n}e^2(n+1)!}|=|\frac{x^3x^{3n}e^2n!}{x^{3n}e^2n!(n+1)}|=|\frac{x^3}{n+1}|$
находим предел:
$\rho=\lim_{n\to\infty}|\frac{x^3}{n+1}|=|x^3|\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=|x^3|\cdot 0$
согласно признаку Даламбера ряд сходится, если $\rho<1$ . так как мы получили произведение $|x^3|\cdot 0$ один из множителей которого равен $$0$$

, то $\rho=0<1$ при любых $$x$$

, т.e. $x\in(-\infty;\infty)$ .

mat-maniak · Сообщение **mat-maniak** » 14 янв 2011, 13:19

daranton писал(а):Source of the post
mat-maniak
имеем ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^{3n}}{e^2n!}$ , общий член ряда задаётся формулой $\frac{x^{3n}}{e^2n!}$ . находим - й член ряда:
$a_{n+1}=\frac{x^{3(n+1)}}{e^2(n+1)!}=\frac{x^{3n+3}}{e^2(n+1)!}$
находим отношение
$|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=|\frac{x^{3n+3}}{e^2(n+1)!}:\frac{x^{3n}}{e^2n!}|=|\frac{x^{3n+3}e^2n!}{x^{3n}e^2(n+1)!}|=|\frac{x^3x^{3n}e^2n!}{x^{3n}e^2n!(n+1)}|=|\frac{x^3}{n+1}|$
находим предел:
$\rho=\lim_{n\to\infty}|\frac{x^3}{n+1}|=|x^3|\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=|x^3|\cdot 0$
согласно признаку Даламбера ряд сходится, если $\rho<1$ . так как мы получили произведение $|x^3|\cdot 0$ один из множителей которого равен , то $\rho=0<1$ при любых , т.e. $x\in(-\infty;\infty)$ .

Ну да. Bce верно. Ряд сходится при любых х.

daranton · Сообщение **daranton** » 14 янв 2011, 20:21

mat-maniak

A как бы Вы решали?

Напишите, пожалуйста?

И как записать ответ для этого задания?

Спасибо!

yourdomain.com