интегралы и вычеты

Lifastyle · Сообщение **Lifastyle** » 26 дек 2010, 16:05

Вычислить интеграл

$\oint_{|z|=1/2}^{}{\frac {e^{2z}-1-2z} {zsh^24iz}dz}$

находим особые точки
z=0
контуром интегрирования является окружность, внутри этого контура расположена точка z=0 - полюс первого порядка
вычет:

$res_{z=z_0}\frac {e^{2z}-1-2z} {zsh^24iz}=\frac {e^{2z}-1-2z} {sh^2 4iz+8izsh 4iz}=0$

так? что дальше делать?

Sebay · Сообщение **Sebay** » 26 дек 2010, 16:19

ну так это по идее и будет ответ, разве нет?
Ведь по основной теореме коши o вычетах интеграл равен сумме вычетов по всем особым точкам умноженный на 2ipi

СергейП

Lifastyle писал(а):Source of the post
Вычислить интеграл

$\oint_{|z|=1/2}^{}{\frac {e^{2z}-1-2z} {zsh^24iz}dz}$

находим особые точки
z=0
контуром интегрирования является окружность, внутри этого контура расположена точка z=0 - полюс первого порядка
вычет:

$res_{z=z_0}\frac {e^{2z}-1-2z} {zsh^24iz}=\frac {e^{2z}-1-2z} {sh^2 4iz+8izsh 4iz}=0$

так? что дальше делать?

Вычет в 0 не равен 0, в данном случае его, пожалуй, проще будет вычислить через предел, раскладывая в ряды экспоненту (надо 3 первых члена) и sh (a тут одного достаточно), будет -1/8

Lifastyle · Сообщение **Lifastyle** » 26 дек 2010, 16:52

СергейП писал(а):Source of the post
Вычет в 0 не равен 0, в данном случае его, пожалуй, проще будет вычислить через предел, раскладывая в ряды экспоненту (надо 3 первых члена) и sh (a тут одного достаточно), будет -1/8

Спасибо большое!

$\oint_{|z-3|=1/2}^{}{\frac {e^z-1} {sin z}dz}$

z0=0;
вычет равен 1 ?

СергейП

Lifastyle писал(а):Source of the post $\oint_{|z-3|=1/2}^{}{\frac {e^z-1} {sin z}dz}$

z0=0;
вычет равен 1 ?

A причем тут z=0?
Надо в круге $$|z-3|=1/2$$

полюса искать

Lifastyle · Сообщение **Lifastyle** » 26 дек 2010, 17:19

СергейП писал(а):Source of the post
A причем тут z=0?
Надо в круге полюса искать

стоп, z=pi
Тогда res =
$1-e^{\pi}$
так?

СергейП

Lifastyle писал(а):Source of the post стоп, z=pi
Тогда res =
$1-e^{\pi}$
так?

Да

Lifastyle · Сообщение **Lifastyle** » 26 дек 2010, 18:35

$\oint_{|z|=1/3}^{}{\frac {1-2z+4z^3} {2z^2}dz}$

z0=0

res= $\frac {1-2z+4z^3} {4z}$

? чему будет равен вычет?

СергейП

Lifastyle писал(а):Source of the post
$\oint_{|z|=1/3}^{}{\frac {1-2z+4z^3} {2z^2}dz}$

z0=0

res= $\frac {1-2z+4z^3} {4z}$

? чему будет равен вычет?

Коэффиц. $C_{-1}$ ряда Лорана, т.e.
$\frac {1-2z+4z^3} {2z^2}=\frac {1} {2z^2}-\frac {1} {z}+2z$
Тогда
$C_{-2}=1/2$
$C_{-1}=-1$
$C_{1}=2$
Вот вычет и равен (-1)

Lifastyle · Сообщение **Lifastyle** » 26 дек 2010, 19:55

$\int_{0}^{2\pi}{\frac {dt} {7+4\sqrt 3 sin t}}$

$e^{it}=z,dt=\frac {dz} {iz},sin t=\frac {z^2-1} {2z}$

$I=\int_{|z|=1}^{}{\frac {dz} {iz(7+4\sqrt3\frac {z^2-1} {2z})}}=-2i\int_{|z|=1}^{}{\frac {dz} {14z+4\sqrt 3z^2-4\sqrt3}}$

$f(z)={\frac {1} {14z+4\sqrt 3z^2-4\sqrt3}}$

$14z+4\sqrt 3z^2-4\sqrt3=0$

$z_{1,2}=\frac {-14\pm \sqrt 388} {8\sqrt 3}$

$z=\frac {-14+ \sqrt 388} {8\sqrt 3}$ - полюс, который принадлежит окружности |z|=1

так?
как найти res?

yourdomain.com