помогите найти пределы и производные

carlos0n · Сообщение **carlos0n** » 06 дек 2010, 19:14

Здравствуйте. Знакомая c филфака дала контрольную решить, я почти всё сделал, но вот кое какие задания уже не помню как точно делаются. Накосячить и дать ей решения c ошибками тоже не хочется.
Вот нуждаюсь в Вашей помощи.

Найти предел:

$\displaystyle \lim_{x \to 1+0}{(x^2-1)^{\sin{\pi x}}}$

$\displaystyle \lim_{x \to 0} (1-x)^{\frac 2x}$

Найти производную:

$y=(x^2+1)^{4x}$

$y-\sqrt{x^2+y}= \sin(xy)$

Извините за такую корявую запись пределов
просто на картинке, при написании формулы, она выглядит верно, a когда добавляю в сообщение, то ерунда получается.

carlos0n · Сообщение **carlos0n** » 06 дек 2010, 19:40

спс за помощь c редактированием))

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 06 дек 2010, 19:48

Оба предела сначала логарифмируем, a после этого методом Лопиталя.
Как вычислять первую производную можно посмотреть здесь [url=http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=16661]http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=16661[/url] - функция вида $f(x)^{g(x)}$ .
При вычислении второй производной рассматривайте $$y$$

как функцию от $$x$$

. Вот пример:
$$xy + y = 0$$

Дифференцируем, не забывая, что $$y$$

- функция от $$x$$

:

откуда получаем
$y' = -\frac{y}{x+1}$ .

СергейП

AV_77 писал(а):Source of the post Оба предела сначала логарифмируем, a после этого методом Лопиталя.

Есть задания, где Лопиталя нельзя применять, возможно это такие.
Эти пределы можно и по 2-ому замечательному пределу решить, второй так совсем просто

$\displaystyle \lim_{x \to 0} (1-x)^{\frac 2x}=\lim_{x \to 0} \left ( (1+(-x))^{\frac {1}{-x} \right )^{-2} =\frac {1}{e^2}$

A в первом нужно аккуратно провести замену, например, t=x-1

yourdomain.com