Теория вещественных чисел

[AskerTasker]

Как известно, существуют два способа определения множества/системы вещественных чисел: конструктивный, основанный на конструировании вещественного числа из рационального, и аксиоматический, основанный на наборе аксиом.

Суть моей проблемы заключается в том, что мне необходимо доказать, что множество вещественных чисел:
a) существует
б) единственно

Вопрос, собственно, в том, как это доказать...

Насколько я понимаю, в случае a) необходимо доказать непротиворечивость аксиом, a в случае б) - совсем неясная история.

Заранее всем благодарен

[jmhan]

У Гильберта в "Основаниях геометрии" есть потрясающе элегантное доказательство непротиворечивости системы аксиом через диофантовы уравнения. Это так, к слову.
Касательно второго, все проще: постройте гипотетическое множество, удовлетворяющее тем же аксиомам и докажите, что оно изоморфно множеству действ. чисел.

[вздымщик Цыпа]

Source of the post Насколько я понимаю, в случае a) необходимо доказать непротиворечивость аксиом, a в случае б) - совсем неясная история.

Непротиворечивость доказывается на раз предъявлением модели, удовлетворяющей системе аксиом. Сойдет стандартная c бесконечными двоичными дробями. Насчет единственности, то план такой:
a) никакое собственное подмножество этой модели системе аксиом не удолетворяет;
б) любое множество должно влключать в себя эту модель как подмножество;
в) попытка добавить к ней «нестандартные» элементы, приводит к тому, что такие элементы в нем уже есть.

[YURI]

Source of the post б) единственно

B учебнике по матанализу Кудрявцева есть д-во и довольно простое.

[вздымщик Цыпа]

Source of the post B учебнике по матанализу Кудрявцева есть д-во и довольно простое.

У Кудрявцева на 31 странице (издание 1981 года) есть это утверждение, но за доказательствами он отправляет к коллегам (Ильин—Позняк и Ильин—Садовничий—Сендов). У Ильина—Позняка оно есть в приложении к первой части. Действительно, доказательство простое.

[YURI]

Source of the post У Кудрявцева на 31 странице (издание 1981 года)...

B каком-то издании было, точно помню.