Квадраты на сторонах прямоуг треугольника

Traim · Сообщение **Traim** » 28 сен 2010, 13:15

Добрый день всем. При решении одной задачи впал в жёсткий ступор. Вот, собственно задача:

Ha сторонах прямоугольного треугольника вне его построены квадраты, их центры - точки O₁, O₂ и O₃. Найти периметр треугольника O₁O₂O₃, если катеты прямоугольного треугольника равны $\sqrt{2}$ и $2\sqrt{2}$

сам нашел O₁O₂, так как там O₂A (A это вершина прямого угла прямоуг треуголника) равна половине AF (AF - диагональ квадрата построенного на катете), a O₁A равна половине OE (OE - диагональ другого квадрата построенного на катете)

вот картинку быстренько в paint набросал

Таланов

bas0514 · Сообщение **bas0514** » 28 сен 2010, 13:43

по теореме косинусов из $\bigtriangleup BO_1O_3$ , где угол при вершине $$B$$

равен сумме прямого угла и угла $$ABC$$

, тангенс которого равен $\frac{AC}{AB}$ . Аналогично $$O_2O_3$$

из $\bigtriangleup CO_2O_3$ .

Traim · Сообщение **Traim** » 28 сен 2010, 14:19

через теорему косинусов вывел:

$O_1{}O_3{}^2=BO_1{}^2+BO_3{}^2-2BO_1{}BO_3{}*cosB$
$\angle B=\angle O_1{}BA+\angle O_3{}BC+\angle ABC$

a вот как связать это c тангенсом $\angle ABC$ не знаю

bas0514 · Сообщение **bas0514** » 28 сен 2010, 14:38

Traim писал(а):Source of the post
a вот как связать это c тангенсом $\angle ABC$ не знаю

$\cos \angle O_1BO_3=\cos (\angle ABC+ 90^\circ)=-\sin \angle ABC$
Зная тангенс угла $$ABC$$

, найдите его синус. Впрочем, можно и непосредственно вычислить гипотенузу треугольника и найти синус.

Traim · Сообщение **Traim** » 28 сен 2010, 14:58

$O_1{}O_3{}^2=BO_1{}^2+BO_3{}^2-2BO_1{}BO_3{}*cosB$

сюды подставляю все значения, получаю:

$O_1{}O_3{}^2=104-40*(-0,8924)=139$
ОТСЮДА
$O_1{}O_3{}=11,7$

по чертежу что-то не совсем сходится, но хоть что-то. Спасибо за помощь!

Traim · Сообщение **Traim** » 28 сен 2010, 15:08

И еще одна задачка, для Bac скорее всего не сложная.

Нужно доказать, что CO (C - вершина прямого угла прямоуг треугольника ABC, O - центр квадрата, построенного на гипотенузе AB) - биссекстриса угла ACB. Всю голову сломал, вообще ничего придумать не смог

Pyotr · Сообщение **Pyotr** » 28 сен 2010, 15:19

Опишите вокруг треугольника окружность и все станет ясно: AB - диаметр окружности, биссектриса разделит пополам дугу AB и т. д.

Traim · Сообщение **Traim** » 28 сен 2010, 15:48

Опишите вокруг треугольника окружность и все станет ясно: AB - диаметр окружности, биссектриса разделит пополам дугу AB и т. д.

Чего-то я ничего не понял, окружность описал. Что значит, разделить дугу пополам и что отсюда следует? Объясните, пожалуйста, поподробнее

Pyotr · Сообщение **Pyotr** » 28 сен 2010, 15:53

Traim писал(а):Source of the post
Опишите вокруг треугольника окружность и все станет ясно: AB - диаметр окружности, биссектриса разделит пополам дугу AB и т. д.

Чего-то я ничего не понял, окружность описал. Что значит, разделить дугу пополам и что отсюда следует? Объясните, пожалуйста, поподробнее

Биссектриса вписанного в окружность угла делит пополам дугу, на которую опирается этот угол.
[url=http://www.mathematics.ru/courses/planimet...ph2/theory.html]http://www.mathematics.ru/courses/planimet...ph2/theory.html[/url]

yourdomain.com