Свойства пределов

Math · Сообщение **Math** » 28 авг 2010, 05:09

Скажите пожалуйста a для чего в свойстве предела $\lim_{n \rightarrow \infty}{ca_n}=c \lim_{n \rightarrow \infty}{a_n}, c \neq 0$ условие существование предела? Что если предел не существует, равенство не верно? Если предел равен бесконечности, то равенство верно. Только для того, чтобы избежать не существования предела.

s2009_33 · Сообщение **s2009_33** » 28 авг 2010, 05:50

Math писал(а):Source of the post
Скажите пожалуйста a для чего в свойстве предела $\lim_{n \rightarrow \infty}{ca_n}=c \lim_{n \rightarrow \infty}{a_n}, c \neq 0$ условие существование предела?

A из какой книги это условие? У Кудрявцева это следствие без данного условия.

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 28 авг 2010, 06:32

Math писал(а):Source of the post
Скажите пожалуйста a для чего в свойстве предела $\lim_{n \rightarrow \infty}{ca_n}=c \lim_{n \rightarrow \infty}{a_n}, c \neq 0$ условие существование предела? Что если предел не существует, равенство не верно? Если предел равен бесконечности, то равенство верно. Только для того, чтобы избежать не существования предела.

Да существование предела необходимо. Предел последовательности не только может быть равен бесконечности, но вообще не существовать, например предел последовательности $$(-1)^n$$

Ellipsoid · Сообщение **Ellipsoid** » 28 авг 2010, 07:42

Последовательность $$x_n$$

имеет своим пределом действительное число $$a$$

, если последовательность $$x_n-a$$

имеет своим пределом число $$0$$

(является бесконечно малой). Пусть существует $\lim_{n \rightarrow \infty}{x_n}=a$ , тогда $\lim_{n \rightarrow \infty}{c \cdot x_n}=c \cdot a$ ( $c \in R$ ), т.к. $\lim_{n \rightarrow \infty}{c (\cdot x_n-a)}=0$ как произведение ограниченной (a постоянная последовательность ограничена, т.к. если $y_n=c ,\quad \forall n \in N$ , то $|y_n |\leq c ,\quad \forall n \in N$ ) на бесконечно малую (см., например, Основы математического анализа, Ильин, Позняк, Ч.1, co c. 64).

Math писал(а):Source of the post
если предел не существует, равенство не верно?

Оно не имеет смысла (именно потому, что предел не существует). Например, последовательность, указанная в предыдущем сообщении, имеет две предельные точки: при $n \in 2k; \ k \in N \ \lim_{n \rightarrow \infty}{(-1)^n}=1$ , a при $n \in 2k+1; \ k \in N \ \lim_{n \rightarrow \infty}{(-1)^n}=-1$ .

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 28 авг 2010, 10:47

Ellipsoid писал(а):Source of the post
Оно не имеет смысла (именно потому, что предел не существует). Например, последовательность, указанная в предыдущем сообщении, имеет две предельные точки: при $n \in 2k; \ k \in N \ \lim_{n \rightarrow \infty}{(-1)^n}=1$ , a при $n \in 2k+1; \ k \in N \ \lim_{n \rightarrow \infty}{(-1)^n}=-1$ .

Из определения предела последовательности, начиная c какого-то N модуль разности an и предела A должен быть меньше любого наперед заданного числа. Поэтому для данной последовательности предел не сушествует. C двумя пределами это явный абсурд! Предел последовательности, если он существует, то только один! Предел дожен не зависеть от того, какие последовательности n выбираются. Вы двигаетесь по четным и нечетным n и получаете разные пределы.

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 28 авг 2010, 11:36

vicvolf писал(а):Source of the post C двумя пределами это явный абсурд!

Речь не идёт o двух пределах. Речь идёт o двух предельных точках. Перечитайте, что такое предельная точка множества.

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 28 авг 2010, 17:07

Ellipsoid писал(а):Source of the post
Последовательность имеет своим пределом действительное число , если последовательность имеет своим пределом число (является бесконечно малой). Пусть существует $\lim_{n \rightarrow \infty}{x_n}=a$ , тогда $\lim_{n \rightarrow \infty}{c \cdot x_n}=c \cdot a$ ( $c \in R$ ), т.к. $\lim_{n \rightarrow \infty}{c (\cdot x_n-a)}=0$ как произведение ограниченной (a постоянная последовательность ограничена, т.к. если $y_n=c ,\quad \forall n \in N$ , то $|y_n |\leq c ,\quad \forall n \in N$ ) на бесконечно малую (см., например, Основы математического анализа, Ильин, Позняк, Ч.1, co c. 64).
[

Разговор идет o пределе последовательности, a не o предельных точках последовательности.

Ellipsoid писал(а):Source of the post
Например, последовательность, указанная в предыдущем сообщении, имеет две предельные точки: при $n \in 2k; \ k \in N \ \lim_{n \rightarrow \infty}{(-1)^n}=1$ , a при $n \in 2k+1; \ k \in N \ \lim_{n \rightarrow \infty}{(-1)^n}=-1$ .

Согласен, данная последовательность имеет эти предельные точки. Ho предел данной последовательности не существует.
[url=http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%...%81%D1%82%D0%B8]http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%...%81%D1%82%D0%B8[/url]

Ellipsoid · Сообщение **Ellipsoid** » 28 авг 2010, 17:13

Данная последовательность имеет разные частичные пределы. Значит, предела не имеет.

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 28 авг 2010, 17:42

Ellipsoid писал(а):Source of the post
Данная последовательность имеет разные частичные пределы. Значит, предела не имеет.

Следовательно сообщение 3 верно. Боюсь разговор o предельных точках мог запутать студента.

Ellipsoid · Сообщение **Ellipsoid** » 28 авг 2010, 17:45

vicvolf писал(а):Source of the post
Ellipsoid писал(а):Source of the post
Данная последовательность имеет разные частичные пределы. Значит, предела не имеет.

Следовательно сообщение 3 верно и не стоило говорить o предельных точках - это могло запутать студента.

Я сам студент, мне простительно.
Ho в данном случае частичные пределы совпадают в предельными точками.

yourdomain.com