Электрическое поле при наличии постоянных токов

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 07 авг 2010, 17:52

Ну вы согласны c линейностью потенциала вдоль провода или нет?

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 07 авг 2010, 18:24

fir-tree писал(а):Source of the post
Ну вы согласны c линейностью потенциала вдоль провода или нет?

Безусловно конечно.

Только что хотел заметить. Объёмный заряд магнитным полем тока всё таки не создастся. Действительно, для электрического поля, созданного магнитным полем тока мы имеем:
$ $<img src="http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24div%20%5Cmathbf%20E_1%3D-%5Cmathbf%20j%20%5Ccdot%20rot%5Cmathbf%20B%3D-%5Cmu%5Cmu_0%20j%5E2%24%24" alt="$$div \mathbf E_1=-\mathbf j \cdot rot\mathbf B=-\mu\mu_0 j^2$$" title="$$div \mathbf E_1=-\mathbf j \cdot rot\mathbf B=-\mu\mu_0 j^2$$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">$ $, но это поле, действуя на электроны проводимости, вытеснит их на поверхность, так что в объёме проводника будет: $ $<img src="http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cmathbf%20E_1%3D0%24%24" alt="$$\mathbf E_1=0$$" title="$$\mathbf E_1=0$$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">$ $, при этом на всю поверхность проводника будет вытеснен заряд:
$ $<img src="http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24Q%3D%5Cint%5Climits_D%20%5Cepsilon%5Cepsilon_0%5Cmu%5Cmu_0%20j%5E2%20dv%24%24" alt="$$Q=\int\limits_D \epsilon\epsilon_0\mu\mu_0 j^2 dv$$" title="$$Q=\int\limits_D \epsilon\epsilon_0\mu\mu_0 j^2 dv$$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">$ $, который создаст внутри проводника поле, обращающее в 0 $ $<img src="http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cmathbf%20E_1%24%24" alt="$$\mathbf E_1$$" title="$$\mathbf E_1$$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">$ $.

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 07 авг 2010, 18:53

ALEX165 писал(а):Source of the post Безусловно конечно.

Отлично. Как я понимаю, student_kiev интересовался другой задачей, и поэтому его целью не было строгое и подробное обоснование этой линейности.

ALEX165 писал(а):Source of the post Действительно, для электрического поля, созданного магнитным полем тока мы имеем:
$\displaystyle \mathop{\mathrm{div}}\mathbf E_1=-\mathbf j \cdot \mathop{\mathrm{rot}}\mathbf B=-\mu\mu_0 j^2$ ,
но это поле, действуя на электроны проводимости, вытеснит их на поверхность

Простите, a почему? Для этого поля мы решили только то, что тока оно не вызывает, значит, в законах Кулона и Лоренца (силы, действующие на заряды) мы его не учитываем (точнее, если бы учитывали, его влияние сократилось бы c влиянием магнитного поля). Тогда вся связь этого поля c зарядами выражается в $\displaystyle \mathop{\mathrm{div}}\mathbf E_1=\rho_1/\varepsilon\varepsilon_0$ , что в объёме проводника не равно нулю.

Кстати, что-то в этом вашем вычислении всё-таки не так, поскольку знак этого поля и знак индуцированных зарядов зависят от знака эффекта Холла, и таким образом от знака заряда носителей (точнее, видимо, от их отношения $\displaystyle e/m$ ). У вас же в конечном выражении этот знак куда-то выпал, и дивергенция всегда отрицательна.

ALEX165 писал(а):Source of the post ...так что в объёме проводника будет: $\displaystyle \mathbf E_1=0$ ,

Простите, a как вы себе представляете решение уравнения $\displaystyle \mathop{\mathrm{div}}\mathbf E_1=\mathord{\mathrm{const}}\ne 0$ , такое что $\displaystyle \mathbf E_1=0$ в той же области?

ALEX165 писал(а):Source of the post ...заряд, который создаст внутри проводника поле, обращающее в 0 $\displaystyle \mathbf E_1$ .

И снова, простите, a как вы себе представляете распределение заряда на поверхности, который создаёт в объёме поле, обращающее в 0 поле c ненулевой дивергенцией в этом объёме?

Жара...

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 07 авг 2010, 19:45

fir-tree писал(а):Source of the post

И снова, простите, a как вы себе представляете распределение заряда на поверхности, который создаёт в объёме поле, обращающее в 0 поле c ненулевой дивергенцией в этом объёме?

Да нет же! Это просто я допустил вольность речи, когда писал. To есть по-детски описывал как это там эти заряды вытеснятся. Ha самом деле $ $<img src="http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24div%5Cmatbf%20E_1%3D0%24%24" alt="$$div\matbf E_1=0$$" title="$$div\matbf E_1=0$$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">$ $ и вытесненные заряды это обеспечивают, a величина этих зарядов как раз и определяется тем зарядом, который должен был быть в толще проводника.
Ну посудите сами, если в объёме возникнет электрическое поле, то "на автомате" это вызовет ток. Так на самом деле и происходит: ток порождает магнитное поле, тот в свою очередь - электрическое, которое гонит заряды на поверхность чтобы в толще это поле стало равным нулю.

A в отношении знака заряда: там же квадрат тока, a он: $ $<img src="http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cmathbf%20j%3D%5Crho_0%20%5Cmathbf%20v%24%24" alt="$$\mathbf j=\rho_0 \mathbf v$$" title="$$\mathbf j=\rho_0 \mathbf v$$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">$ $, так что получается чистый минус. (Это же эффект Холла не от внешнего магнитного поля, a от "своего").
Кстати, $ $<img src="http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cmu_0%5Cepsilon_0%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%5Cpi%209%20%5Ccdot%2010%5E9%7D4%5Cpi%2010%5E%7B-7%7D%3D1.1%20%5Ccdot10%5E%7B-17%7D%24%24" alt="$$\mu_0\epsilon_0=\frac{1}{4\pi 9 \cdot 10^9}4\pi 10^{-7}=1.1 \cdot10^{-17}$$" title="$$\mu_0\epsilon_0=\frac{1}{4\pi 9 \cdot 10^9}4\pi 10^{-7}=1.1 \cdot10^{-17}$$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">$ $ - величина на редкость ничтожно маленькая: на 1 ампер в 1 кубометре проводника: $ $<img src="http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cfrac%7B1.1%20%5Ccdot10%5E%7B-17%7D%7D%7B1.6%20%5Ccdot10%5E%7B-19%7D%7D%3D68.8%24%24" alt="$$\frac{1.1 \cdot10^{-17}}{1.6 \cdot10^{-19}}=68.8$$" title="$$\frac{1.1 \cdot10^{-17}}{1.6 \cdot10^{-19}}=68.8$$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">$ $ штук электронов.

Или у меня действительно крыша от жары поехала, или это так.

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 07 авг 2010, 20:35

Да,точно, поле $ $<img src="http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cvathbf%20E_1%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Crho_0%7D%5Cmathbf%20j%5Ctimes%5Cmathbf%20B%24%24" alt="$$\vathbf E_1=\frac{1}{\rho_0}\mathbf j\times\mathbf B$$" title="$$\vathbf E_1=\frac{1}{\rho_0}\mathbf j\times\mathbf B$$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">$ $, a то, что я до этого писал - сила, действующая на единицу тока.
Поправки перепишу.

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 07 авг 2010, 21:17

TeX заработал нормально.

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 07 авг 2010, 21:43

ALEX165 писал(а):Source of the post Ha самом деле $\mathop{\mathrm{div}}\mathbf E_1=0$ и вытесненные заряды это обеспечивают

Объясните, каким образом. И не путайтесь в определениях введённых вами величин. Напоминаю, $\mathbf E_1$ - это "фиктивное электрическое поле, эквивалентное по воздействию на ток учитываемому магнитному полю". Вы рассчитали его дивергенцию совершенно однозначно (хотя где-то потеряли какую-то константу, как мне кажется). Теперь заявлять c потолка, что эта дивергенция равна нулю, неправомерно.

Разумеется, полная добавка к полю нулевая, но не за счёт $\mathop{\mathrm{div}}\mathbf E_1=0$ , a за счёт некоего нового поля $\mathbf E_2$ , источником которого служат "новые" индуцированные заряды (в смысле, рассчитанные при учёте магнитного поля). Тогда $\mathbf E_0+\underline{\mathbf E_1+\mathbf E_2}=\mathbf E_0$ , то есть подчёркнутое равно нулю, a из них на зарядах начинаются только реальные поля $\mathbf E_0$ и $\mathbf E_2$ , но не фиктивное $\mathbf E_1$ , так что индуцированные заряды рассчитываются по $\mathop{\mathrm{div}}\mathbf E_2=-\mathop{\mathrm{div}}\mathbf E_1=\rho_2/\varepsilon\varepsilon_0$ (выше я написал в #194, что $\mathop{\mathrm{div}}\mathbf E_1=\rho_1/\varepsilon\varepsilon_0$ , что неверно).

ALEX165 писал(а):Source of the post A в отношении знака заряда: там же квадрат тока, a он: $\displaystyle \mathbf j=\rho_0 \mathbf v$ , так что получается чистый минус.

Ну сами подумайте, если у вас меняется направление тока и знак носителей заряда, у вас всё равно получается один и тот же знак индуцированного заряда. Нехорошо. Что-то ещё перед квадратом должно вылезать, что знак меняет.

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 08 авг 2010, 00:25

fir-tree писал(а):Source of the post
Разумеется, полная добавка к полю нулевая, но не за счёт $\mathop{\mathrm{div}}\mathbf E_1=0$ , a за счёт некоего нового поля $\mathbf E_2$ , источником которого служат "новые" индуцированные заряды (в смысле, рассчитанные при учёте магнитного поля). Тогда $\mathbf E_0+\underline{\mathbf E_1+\mathbf E_2}=\mathbf E_0$ , то есть подчёркнутое равно нулю, a из них на зарядах начинаются только реальные поля $\mathbf E_0$ и $\mathbf E_2$ , но не фиктивное $\mathbf E_1$ , так что индуцированные заряды рассчитываются по $\mathop{\mathrm{div}}\mathbf E_2=-\mathop{\mathrm{div}}\mathbf E_1=\rho_2/\varepsilon\varepsilon_0$ (выше я написал в #194, что $\mathop{\mathrm{div}}\mathbf E_1=\rho_1/\varepsilon\varepsilon_0$ , что неверно).

Так я же в точности то же самое и говорю!

fir-tree писал(а):Source of the post
ALEX165 писал(а):Source of the post A в отношении знака заряда: там же квадрат тока, a он: $\displaystyle \mathbf j=\rho_0 \mathbf v$ , так что получается чистый минус.

Ну сами подумайте, если у вас меняется направление тока и знак носителей заряда, у вас всё равно получается один и тот же знак индуцированного заряда. Нехорошо. Что-то ещё перед квадратом должно вылезать, что знак меняет.

Ну вот же там я добавил:

ALEX165 писал(а):Source of the post
Да,точно, поле $ $<img src="http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cvathbf%20E_1%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Crho_0%7D%5Cmathbf%20j%5Ctimes%5Cmathbf%20B%24%24" alt="$$\vathbf E_1=\frac{1}{\rho_0}\mathbf j\times\mathbf B$$" title="$$\vathbf E_1=\frac{1}{\rho_0}\mathbf j\times\mathbf B$$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">$ $, a то, что я до этого писал - сила, действующая на единицу тока.

Так знак индуцированного заряда определяется знаком носителей:
$div\mathbf E_1=-\frac{\mu\mu_0j^2}{\rho_0}$

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 08 авг 2010, 01:31

Что такое $\rho_0$ ?

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 08 авг 2010, 04:37

fir-tree писал(а):Source of the post
Что такое $\rho_0$ ?

Плотность электронов проводимости в металле.

yourdomain.com