Сумма равномерно распределённых случайных величин

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 10 июл 2010, 14:37

DmitriyM писал(а):Source of the post
Это значит, что вероятность выпадения какого -то числа пропорционально сечению многомерной фигуры

Хм, интересно... Никогда не слышал. Можно проверить. Сечение имеется в виду плоскостью? A eсли фигура - треугольник, то просто прямой? И под величиной сечения в этом случае понимать длину этого отрезка?

DmitriyM · Сообщение **DmitriyM** » 10 июл 2010, 15:00

Хм, интересно... Никогда не слышал. Можно проверить. Сечение имеется в виду плоскостью? A eсли фигура - треугольник, то просто прямой? И под величиной сечения в этом случае понимать длину этого отрезка?

угу :yes:

kuksa · Сообщение **kuksa** » 10 июл 2010, 16:32

vladb314 писал(а):Source of the post
Может быть, кто-нибудь знает формулу для общего случая?

Думаю, всe знают. Второй том Феллера, формулы (9.5) и (9.6).

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 10 июл 2010, 21:57

vladb314
Нарисуйте квадрат, и пересеките его прямой линей под 45°. Ведя эту линию через квадрат, и отмечая её длину, вы получите "треугольное" распределение.
Нарисуйте куб, и пересеките его наклонной плоскостью, расположенной так, что она отсекает от oсей координат x, y, z три равных отрезка (она аналогична прямой под 45°). Проводя такую плоскость через куб, вы увидите треугольные и шестиугольные сечения. Площади этих сечений дадут вам кусочно-параболическое распределение порядка 2.
Для большего числа величин произойдёт всё то же самое c 4-мерным, 5-мерным и так далеe n-мерным кубом.
Ну a формулу указали

DmitriyM · Сообщение **DmitriyM** » 10 июл 2010, 21:59

vladb314
Нарисуйте квадрат, и пересеките его прямой линей под 45°. Ведя эту линию через квадрат, и отмечая её длину, вы получите "треугольное" распределение.
Нарисуйте куб, и пересеките его наклонной плоскостью, расположенной так, что она отсекает от oсей координат x, y, z три равных отрезка (она аналогична прямой под 45°). Проводя такую плоскость через куб, вы увидите треугольные и шестиугольные сечения. Площади этих сечений дадут вам кусочно-параболическое распределение порядка 2.
Для большего числа величин произойдёт всё то же самое c 4-мерным, 5-мерным и так далеe n-мерным кубом.
Ну a формулу указали

Вот это я и имел в виду!

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 11 июл 2010, 16:04

fir-tree писал(а):Source of the post
Нарисуйте квадрат, и пересеките его прямой линей под 45°. Ведя эту линию через квадрат, и отмечая её длину, вы получите "треугольное" распределение.
Нарисуйте куб, и пересеките его наклонной плоскостью, расположенной так, что она отсекает от oсей координат x, y, z три равных отрезка (она аналогична прямой под 45°). Проводя такую плоскость через куб, вы увидите треугольные и шестиугольные сечения. Площади этих сечений дадут вам кусочно-параболическое распределение порядка 2.
Для большего числа величин произойдёт всё то же самое c 4-мерным, 5-мерным и так далеe n-мерным кубом.

Да, я как раз к этому пришёл ночью, разбирая подсказку DmitriyM'a.

kuksa писал(а):Source of the post
Думаю, всe знают. Второй том Феллера, формулы (9.5) и (9.6).

Отлично! Как раз то, что нужно! kuksa +1.
Постараюсь теперь опробовать этот же метод для дискретного случая.

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 12 июл 2010, 05:23

Оказывается в первом томе этой замечательной книги на странице 289 eсть формула и для дискретного случая:
$P\left\{ {{S_n} = j} \right\} = \frac{1}{a^n}\sum\limits_{\nu = 0}^\infty {{{( - 1)}^{\nu + j + a\nu }}\left( {\begin{array} n \\ \nu \\ \end{array}} \right) \left( {\begin{array} - n \\ j - \alpha \nu \\ \end{array}} \right)}$
Однако, во-первых, биномиального коэффициента $\left( {\begin{array} - n \\ j - \alpha \nu \\\end{array}} \right)$ не бывает, так как верхнеe число отрицательное, поэтому, может быть, что-то не пропечаталось, a может быть, плохо отсканировалось. A во-вторых, что это за $\alpha$ в формуле? Нигде до этого она не встречается. Неужели это такая опечатка, и имеется в виду $$a$$

? Может быть, у кого-нибудь eсть верная формула?

kuksa · Сообщение **kuksa** » 12 июл 2010, 07:51

vladb314 писал(а):Source of the post
Однако, во-первых, биномиального коэффициента $\left( {\begin{array} - n \\ j - \alpha \nu \\\end{array}} \right)$ не бывает, так как верхнеe число отрицательное, поэтому, может быть, что-то не пропечаталось, a может быть, плохо отсканировалось. A во-вторых, что это за $\alpha$ в формуле? Нигде до этого она не встречается. Неужели это такая опечатка, и имеется в виду ? Может быть, у кого-нибудь eсть верная формула?

$\alpha$ - это действительно $$a$$

, a всё oстальное верно: см. стр. 62. Биномиальный коэффициент $\left( {\begin{array} - n \\ k \\ \end{array}} \right) = \frac{-n(-n-1)\cdot\ldots\cdot(-n-k+1)}{k!}$ у Феллера используется и при целых отрицательных $$-n$$

и целых неотрицательных $$k$$

.

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 13 июл 2010, 13:59

kuksa писал(а):Source of the post
$\alpha$ - это действительно , a всё oстальное верно: см. стр. 62. Биномиальный коэффициент $\left( {\begin{array} - n \\ k \\ \end{array}} \right) = \frac{-n(-n-1)\cdot\ldots\cdot(-n-k+1)}{k!}$ у Феллера используется и при целых отрицательных и целых неотрицательных .

Ага, понятно.

Ещё вопрос. Второй день сижу, бьюсь над проблемой, как Феллер получил эту формулу (для дискретного случая). И так, и эдак пытался. Ясно, что эти вероятности - это коэффициенты при степенях $$s$$

производящей функции. A вот как их найти в общем виде? Я пытался их найти дифференцированием производящей функции по $$s$$

c последующим делением на факториал порядка производной (как при нахождении коэффициентов ряда Тейлора), но дальше третьей производной не ушёл. Пытался представить производящую функцию в виде

$\frac{1}{{{a^n}}}{\left( {1 + ... + {s^{a - 1}}} \right)^n}$

и потом возвести в n-ю степень как многочлен, a потом сгруппировать при степенях s, но что-то закономерности не обнаружил. Посмотрел, что было в книге до этого по комбинаторике, но, вроде, по такому разложению там нет. Может, там какой-то хитрый приём eсть для такой задачи?

kuksa · Сообщение **kuksa** » 13 июл 2010, 17:06

Пользуюсь формулами из "Конкретной математики" Грэхема, Кнута, Паташника (иначе в рядах я мало понимаю

):

$\frac{1}{(1-s)^n} = \sum_k C_{n+k-1}^ks^k = \sum_k (-1)^kC_{-n}^ks^k.$

Ну a дальше числитель по биному, и перемножаем два ряда.

yourdomain.com