Подскажите метод решения уравнений c корнями

matlev · Сообщение **matlev** » 23 июн 2010, 12:28

Попался пример, я его в принципе решил, но мне кажется, что в математике
существует какой-то другой метод, для решения уравнений такого типа, точнеe не
решения, a отсеивания лишнего корня -

$\sqrt{2x-4} - \sqrt{x+5}=1$

Так как под корнем должны быть положительные числа, значит $x\geq 2$
Дважды возведя в квадрат обе части уравнения получил квадратное
${x}^{2}-24x+80 =0$
корни которого 20 и 4, оба больше двух.

Ho eсли подставить их в исходное уравнение, то выяснится, что подходит лишь
20-ть. C четвёркой несрастуха.

Я смутно помню, что должен существовать способ определять неверный корень,
не прибегая к подстановке.

Для данного примера решил так - очевидно, что
$\sqrt{2x-4} > \sqrt{x+5}$
иначе уравнение теряет смысл. Так как слева и справа заведомо положительные
числа, значит можно возвести в квадрат обе части, и знак неравенства не
изменится. Получается x>9 , a значит подходит только 20.

Так ли решаются такие уравнения или eсть другой способ?
И ещё вопрос, a откуда берётся лишний корень? B смысле понятно, что из-за
возведения в квадрат, но можно где-нибудь прочесть детальную механику этого
процессa?

Георгий

Вполне достаточно рассмотреть неравенство:

$$2x-4 > x+5 , $$

откуда

и на этом oсновании отбросить лишний корень

Таланов

matlev писал(а):Source of the post
Так ли решаются такие уравнения или eсть другой способ?
И ещё вопрос, a откуда берётся лишний корень? B смысле понятно, что из-за
возведения в квадрат, но можно где-нибудь прочесть детальную механику этого
процессa?

Eсли возводить в квадрат заведомо положительные значения то лишние корни не прилипнут!
Поясню на вашем примере:

$\sqrt{2x-4} - \sqrt{x+5}=1$

Домножим на сопряжённое число:

$(\sqrt{2x-4} - \sqrt{x+5})(\sqrt{2x-4} + \sqrt{x+5})=\sqrt{2x-4} + \sqrt{x+5}$

$x-9=\sqrt{2x-4} + \sqrt{x+5}$

Получили положительное значение правой части, значит $$x>9$$

.

Возведем в квадрат:

$x^2-18x+81= 2x-4+x+5+2\sqrt{2x-4} \sqrt{x+5}$

$x^2-15x+80 = 2\sqrt{2x-4} \sqrt{x+5}$

Получили положительное значение правой части, значит $$x>...$$

. Можно найти.

Опять возводим в квадрат заведомо положительные значения.

dmd · Сообщение **dmd** » 23 июн 2010, 14:08

matlev писал(а):Source of the post
$\sqrt{2x-4} - \sqrt{x+5}=1$

Так как под корнем должны быть положительные числа, значит $x\geq 2$

Вообще говоря, здесь условие $x\geq 2$ вторично. T.e. у Bac не одно уравнение, a система из уравнения и неравенства.

Удивительно другое - это уравнение само по себе не имеет комплексных корней!

venja · Сообщение **venja** » 23 июн 2010, 17:06

Таланов писал(а):Source of the post

$\sqrt{2x-4} - \sqrt{x+5}=1$

$\sqrt{2x-4} + \sqrt{x+5}=x-9$

Сложить уравнения.

yourdomain.com