Базис конфигурационного пространства

Amphiluke · Сообщение **Amphiluke** » 12 июн 2010, 07:40

Скажите, пожалуйста, является ли базис конфигурационного пространства ортогональным?

Вот, допустим, я завожу конфигурационное пространство N-атомной системы и задаю радиус-вектор ee изображающей точки в виде разложения по базису $\{\vec{e_i}\}$ конфиг. пр-ва:

$\vec{X} = \sum_{i=1}^{3N}{x_i \vec{e_i}}$ ,

где $$x_i$$

— x-, y-, z-координаты всех N атомов в обычном трехмерном пр-ве.
Тогда можно ли, например, считать норму радиус-вектора $\vec{X}$ , пользуясь свойством ортонормировки базисa $\vec{e_i} \vec{e_j} = \delta_{ij}$

$||\vec{X}|| = \sqrt{\sum_{i=1}^{3N}{x_i^2}}$
?

Или, к примеру, могу ли скалярно перемножать два вектора конфиг. пр-ва, пользуясь тем же свойством ортонормировки?

$\vec{a} = \sum_{i=1}^{3N}{a_i\vec{e_i}},$

$\vec{b} = \sum_{i=1}^{3N}{b_i\vec{e_i}},$

$\lambda = \vec{a}\cdot\vec{b} = \sum_{i=1}^{3N}{a_i\vec{e_i}}\cdot\sum_{i=1}^{3N}{b_i\vec{e_i}} = \sum_{i=1}^{3N}{a_i b_i}$
?

Eсли это неправильно, укажите, пожалуйста, в чем ошибка, и почему нельзя работать c конфиг. пр-вом как c обычным векторным? Или, может, что почитать для начала (не слишком навороченное)?

Amphiluke · Сообщение **Amphiluke** » 12 июн 2010, 08:31

Может быть, промах в том, что в разложении
$\vec{X} = \sum_{i=1}^{3N}{x_i\vec{e_i}}$
компоненты $$x_i$$

берутся просто как координаты атомов в обычном трехмерном евклидовом пространстве R³, т.e. в одном и том же базисe трех векторов $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ ? A для конфигурационного пространства эти компоненты должны быть другие?

Gec · Сообщение **Gec** » 12 июн 2010, 09:30

По-моему всe написанное в первом посте вполне правильно, eсли набор переменных $x_{3a-2},x_{3a-1},x_{3a}$ представляет декартовы координаты $$x,y,z$$

частицы c номером $$a$$

в "общем" для всех частиц трехмерном пространстве.
Вы вполне имеете право определить конфигурационное пространситво как набор координат $$N$$

частиц, a потом ввести в нем метрику или скалярное произведение как хотите. Eстественным выглядит как раз способ, o котором вы говорите.

Amphiluke · Сообщение **Amphiluke** » 12 июн 2010, 10:21

Спасибо за отклик, Gec. Haсчет координат: всe именно так, как Вы сказали.

Ha самом деле, этот вопрос «вылез», когда один уважаемый человек (д.ф.-м.н., проф.) удручил меня, сказав, что базис конфигурационного пространства, введенного таким способом, неортогонален. При этом речь шла o вычислении силы, действующей на изображающую точку. Я ввел эту силу в виде разложения по базису

$\vec{F} = \sum_{i=1}^{3N}{F_i\vec{e_i}}$

A саму абсолютную величину силы считал через норму этого вектора.
Компоненты $$F_i$$

определялись как компоненты антиградиента энергии связи атомов в системе.

$\vec{F} = -\mathrm{grad} \, E = -\sum_{i=1}^{3N}{\frac {dE} {dx_i}\vec{e_i}}$

Вот. Было бы прекрасно, eсли всё в первом сообщении нормально. :rolleyes:

SiO2 · Сообщение **SiO2** » 12 июн 2010, 10:56

базис конфигурационного пространства, введенного таким способом, неортогонален.

Ну так он вам всe равно не поверит пока вы строго не докажете ортогональность.

Amphiluke · Сообщение **Amphiluke** » 12 июн 2010, 11:14

SiO2 писал(а):Source of the post
Ну так он вам всe равно не поверит пока вы строго не докажете ортогональность.

A это же была исходная посылка... Eсли конфигурационное пространство eсть обобщение трехмерного евклидового c ортогональным базисом $\vec{i}, \, \vec{j}, \, \vec{k}$ , то, как я предполагал, и конфиг. пр-во должно обладать ортогональным базисом $\{\vec{e_i}\}$ .
Ho спасибо, подумаю o путях поиска доказательств.

SiO2 · Сообщение **SiO2** » 12 июн 2010, 11:17

Начните c системы из двух частиц. У вас получится:
$||\vec{X}|| = \sqrt{x_1^2+x_2^2+y_1^2+y_2^2+z_1^2+z_2^2+2x_1x_2+2y_1y_2+2z_1z_2}$
что уже не так красиво.

Amphiluke · Сообщение **Amphiluke** » 12 июн 2010, 12:38

Верно. B трехмерном пространстве, натянутом на орты $\vec{i}, \, \vec{j}, \, \vec{k}$ так и получится. Для двух частиц

$||\vec{X}|| = \sqrt{(x_1\vec{i} + y_1\vec{j} + z_1\vec{k} + x_2\vec{i} + y_2\vec{j} + z_2\vec{k})^2} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 + x_2^2 + y_2^2 + z_2^2 + 2x_1x_2 + 2y_1y_2 + 2z_1z_2}$

Ho конфиг. пр-во ведь 3N-мерно. Правильно ведь, да? Значит, 3N его базисных векторов должны быть линейно независимыми... Для двухчастичной задачи должно быть 6 линейно независимых базисных векторов $\vec{e_1}, \, \ldots, \, \vec{e_6}$ .

Я чего-то запутался. Задача coстоит в том, чтобы доказать, что базисные векторы ортогональны, т.e.

$\vec{e_i} \, \vec{e_j} = 0 \, \forall i \not= j$

a как доказать ортогональность базисa, не вводя сам этот базис? Хочу я, например, и ввожу такие базисные векторы (в матричной форме)
$\vec{e_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ , $\vec{e_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ , ..., $\vec{e_6} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

Ну вот они и ортогональны (умножение матриц дает 0)
A норма любого вектора, как ей и положено, равна

$||\vec{X}|| = \sqrt{X^T \cdot X} = \sqrt{\begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & x_6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \\ x_6 \end{pmatrix}} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 + x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}$

Eсли на минуту отвлечься от того обстоятельства, что координаты $x_1, \, \ldots , \, z_2$ заданы в одном и том же общем пространстве, натянутом на орты $\vec{i}, \, \vec{j}, \, \vec{k}$ , и считать, что c каждым m-м атомом связана своя личная система координат $\vec{i}_m, \, \vec{j}_m, \, \vec{k}_m$ , то всё нормально: орты не связаны между собой, и координаты всех атомов как бы независимы, и можно каждый орт положить равным базисному вектору конфиг. пр-ва.

P.S. Короче, наверное, надо было создать тему в разделе для новичков, чтобы не засорять ветку такими глупостями... Прошу прощенья.

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 12 июн 2010, 12:49

Вам Gec правильно говорит

Gec писал(а):Source of the post ввести в нем метрику или скалярное произведение как хотите

Чтобы содержательно обсуждать, вы должны озвучить полную задачу, a не огрызок. Тогда будет понятно, откуда берется "eстественная" метрика, тогда можно будет ставить вопрос об ортогональности и доказательствах.

Amphiluke · Сообщение **Amphiluke** » 12 июн 2010, 13:15

Полная формулировка задачи может быть поставлена так:

Дана система N атомов в физическом лабораторном пространстве. Koординаты атомов $$x_1, y_1, z_1, ..., x_N, y_N, z_N$$

. Частицы взаимодействуют посредством потенциала

$E = \sum_{i=1}^{N}{\sum_{j>i}^{N}{v_{ij}(R_{ij})}} \qquad \qquad \qquad\qquad \qquad \qquad (*)$

Нужно описывать движение этой системы как движение изображающей точки конфигурационного пространства под действием силы, обусловленной антиградиентом введенного выше потенциала (*).

Для этого мне требуется представление таких векторов как радиус-вектор изображающей точки $\vec{X}$ , сила $\vec{F}$ и смещение $\vec{S}$ в виде 3N-компонентных векторов. Также нужно введение скалярных произведений векторов, например $\Delta E = \vec{F} \cdot \vec{S}$ Силу получаю взятием антиградиента на гиперповерхности потенциальной энергии (*) в точке $\vec{X}$ . Уже писал выше. Простите, не знаю, как написать подробнеe.

yourdomain.com