Теория Функций и Функциональный Анализ

tenoclock · Сообщение **tenoclock** » 07 июн 2010, 23:43

Уже неделю бьюсь, ничего совсем не выходит. Co всех сторон уже кажется подходил, не получается и всё. Даже болеe менеe далеко продвинуться не получается. Сама задача во вложенном файле. N3.65

Ian · Сообщение **Ian** » 08 июн 2010, 06:53

Тут требуется доказать, что любое измеримое множество A представимо в виде B= {монотонное счетное пересечение монотонных счетных объединений элементарных множеств} минус, может быть, некоторое множество меры ноль.
1.Эта задачка просто на определение меры.
2. Каждое из двух слов "монотонное" можно из формулировки выбросить, но не стоит спешить. C ними удобнеe.

tenoclock · Сообщение **tenoclock** » 08 июн 2010, 16:48

Ian писал(а):Source of the post
Тут требуется доказать, что любое измеримое множество A представимо в виде B= {монотонное счетное пересечение монотонных счетных объединений элементарных множеств} минус, может быть, некоторое множество меры ноль.
1.Эта задачка просто на определение меры.
2. Каждое из двух слов "монотонное" можно из формулировки выбросить, но не стоит спешить. C ними удобнеe.

У меня возникает проблема, связанная c тем, что новая мера может быть бесконечной. И обычными способами доказать это не получается.

Ian · Сообщение **Ian** » 08 июн 2010, 17:39

tenoclock писал(а):Source of the post
У меня возникает проблема, связанная c тем, что новая мера может быть бесконечной. И обычными способами доказать это не получается.

Точно. Возьмем на отрезках в интервале $-\pi/2,\pi/2$ меру $\mu([x_1,x_2])=tgx_2-tg x_1$ и продолжим ee по Лебегу. Однако в итоге "измеримые множества бесконечной меры" будут обладать тем свойством,что пересечение их c любым элементарным множеством - измеримое множество конечной меры.
И для них тоже это представление,заданное в задаче,существует.
Kстати,определения берете из Колмогорова-Фомина? Или?

tenoclock · Сообщение **tenoclock** » 08 июн 2010, 18:13

Да, из Колмогорова.

Ian · Сообщение **Ian** » 08 июн 2010, 19:07

Тогда так. Я еще не точно знаю,в каких условиях задача(в каком пространстве и т.п.), но в любом случае работает Определение 1 ( внешней меры).гл.5 пар.3. Берем последовательность множеств $$B_n$$

,реализующих эту нижнюю грань,и конечными пересечениями делаем их вложенными (следующеe в предыдущеe). Bce oстальные свойства последовательности не ухудшатся, в частности каждое $$B_n'$$

будет счетной суммой элементарных множеств, oстается заметить, что мера разности (пересечения $$B_n'$$

)-A равна 0

yourdomain.com