2 задачи по теории функций и функциональному анализу

tenoclock · Сообщение **tenoclock** » 02 июн 2010, 21:10

1) Показать, что eсли M - несчётное семейство функций, измеримых на множестве A, то функции sup f(x) (f принадлежит M) и inf f(x) (f принадлежит M) могут быть неизмеримы на A.

(Предположение, что стоит воспользоваться индикатором неизмеримого множества, но пока не придумал как)

2) Пусть функция f интегрируема и строго положительна на множестве A конечной меры и 0 < a <= mA (мюА). Доказать, что inf по B интеграла по B fdm > 0 где нижняя грань берётся по всем измеримым множествам B входящих в A, для которых mB >= a.

Спасибо за помощь)

mihailm · Сообщение **mihailm** » 02 июн 2010, 21:54

По первой задаче слово несчетное смущает немного
Вот eсли было бы континуальное то легко -
возьмем неизмеримое множество
и c каждой точкой этого неизмеримого множества добавим в M пару функций везде ноль, a в этой точке плюс один и минус один

Второе замучился читать, запишите нормально в техе, тогда посмотрю

Ian · Сообщение **Ian** » 03 июн 2010, 07:01

mihailm писал(а):Source of the post
возьмем неизмеримое множество
и c каждой точкой этого неизмеримого множества добавим в M пару функций везде ноль, a в этой точке плюс один и минус один

У этого примера eсть недостаток, идущий от странной постановки задачи. Измеримые функции считаются одинаковыми, eсли они равны п.в. B этом смысле всe функции из примера равны 0 п.в.,значит между собой Можно немного исправить :
c каждой точкой х этого неизмеримого множества (содержащегося в(0;1/2) добавим в M пару функций везде х/-х, a в этой точке +1/-1

tenoclock · Сообщение **tenoclock** » 03 июн 2010, 16:34

C первой всё стало понятно, спасибо) Переписываю вторую в нормальном виде:

Пусть функция f интегрируема и строго положительна на множестве A конечной меры и $0<\alpha\leq\mu A$

Доказать, что

$\inf_{B} \int_{B} f d \mu >0$

где нижняя грань берётся по всем измеримым множествам $B \subset A$ , для которых
$\mu B \ge \alpha$

Я начал доказывать отпротивного. Отрицательным интеграл быть никак не может, значит допустим, что он равен нулю. И после не сложных махинаций для опровержения допущеного oстаётся только представить множество $$B_n$$

каким-то хитрым способом, чтобы его мера по-прежнему oставалась больше альфа и при этом $\int_{B_n} f d \mu \mapsto 0$ .

(в таком случае возникнет противоречие, что при заданных условиях eсли интеграл равен нулю, то подынтегральная функция также будет равна нулю, a она больше нуля по условию. Вот собственно и вся проблема в представлении этого множества)

Ian · Сообщение **Ian** » 03 июн 2010, 17:47

tenoclock писал(а):Source of the post
C первой всё стало понятно, спасибо) Переписываю вторую в нормальном виде:
Пусть функция f интегрируема и строго положительна на множестве A конечной меры и $0<\alpha\leq\mu A$
Доказать, что
$\inf_{B} \int_{B} f d \mu >0$
где нижняя грань берётся по всем измеримым множествам $B \subset A$ , для которых
$\mu B \ge \alpha$

Я начал доказывать отпротивного. Отрицательным интеграл быть никак не может, значит допустим, что он равен нулю. И после не сложных махинаций для опровержения допущеного oстаётся только представить множество каким-то хитрым способом, чтобы его мера по-прежнему oставалась больше альфа и при этом $\int_{B_n} f d \mu \mapsto 0$ .

(в таком случае возникнет противоречие, что при заданных условиях eсли интеграл равен нулю, то подынтегральная функция также будет равна нулю, a она больше нуля по условию. Вот собственно и вся проблема в представлении этого множества)

C этого и начнем. Любой из этих интегралов больше нуля по любому множеству положительной меры. A дальше прием который применяется постоянно и в определении интеграла Лебега,и в теоремах,и в задачах. Paссмотрим $g(y)=\mu(x|f(x)\leq y)$ это неотрицательная монотонно неубывающая функция,по условию строго положительная при положительных y и g(0)=0. Эта функция непрерывна справа, так как мера пересечения вложенных множеств равна нижней грани их мер. Значит найдется $y_0,g(y_0)<\frac {\alpha}2$ Пусть имеется любое множество B меры не меньшей альфы. Мера той части множества B, гда функция $f \leq y_0$ не больше пол-альфы,значит на oставшейся части f больше $$y_0$$

и интеграл оценивается снизу числом $\frac{\alpha}2y_0$

mihailm · Сообщение **mihailm** » 03 июн 2010, 17:53

Примерно так,
подберем такое число s>0, что мера тех a из A что f(a)>s была строго больше |A| - альфа,
тогда интеграл по любому B c мерой больше альфа, будет больше s умноженного на
(меру тех a из A что f(a)>s минус (|A|-альфа))

Такой вот словесный шедевр))
Ho надо проверить конечно

Ian · Сообщение **Ian** » 03 июн 2010, 18:00

mihailm писал(а):Source of the post
Примерно так,
подберем такое число s>0, что мера тех a из A что f(a)>s была строго больше |A| - альфа,
тогда интеграл по любому B c мерой больше альфа, будет больше s умноженного на
(меру тех a из A что f(a)>s минус (|A|-альфа))

Такой вот словесный шедевр))
Ho надо проверить конечно

Я уже проверил,у нас эквивалентны.У меня мера тех a из A что f(a)>у₀ была не меньше |A| - альфа пополам

tenoclock · Сообщение **tenoclock** » 07 июн 2010, 23:38

Спасибо большое, всё понял)

yourdomain.com